Geometry & Recognition

타원을 표현하는 방정식은 

$$  \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1$$

처럼 쓸 수 있다. 매개변수로 표현하면

$$ x= a \cos \theta, \quad y=b \sin \theta, \quad 0\le \theta \le 2\pi$$

이다. 타원의 둘레길이는 

$$L = \int _0^{2\pi} \sqrt{ \dot{x}^2 + \dot{y}^2 } d \theta  = \int_0^{2\pi} \sqrt{ a^2 \sin ^2  \theta + b^2 \cos ^2 \theta}d \theta$$

이디. $b\ge a$인 경우만 고려하여 적분인자를

$$ \sqrt{b^2 - (b^2 - a^2)\sin^2 \theta} d \theta = b \sqrt{1-e^2 \sin^2  \theta}d \theta$$

처럼 쓰자. 여기서 $e= \sqrt{b^2-a^2}/{b}$는 이심률(eccentricity)로 타원이 눌려진 정도를 나타낸다. 타원은 장축 반지름($b$)과 모양을 결정하는 이심률 ($e$)을 써서 표현할 수 있다. 대칭성에 의해서 둘레길이는 1 사분면에 걸친 길이의 4배를 하면 되므로

$$ L= 4 b   \int _0^{\pi/2} \sqrt{1-e^2 \sin ^2  \theta }d \theta $$

적분 부분은 장축 반지름이 1이고 이심률이 $e$ 타원 둘레길이의 $1/4$를 나타낸다. 그런데 이 적분은 닫힌 꼴을 구할 수 없고 무한수열의 합으로 표현해야 한다(참고: complete elliptic integral of the second kind). $x= e^2 \sin ^2 \theta$로 놓고 적분인자를 이항전개하면

\begin{align} (1-x)^{1/2} = \sum_{n=0}^\infty \left( \begin{matrix}1/2\\n\end{matrix}\right) (-x)^n &= 1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{16}x^3-\frac{5}{128}x^4-\frac{7}{256}x^5-\cdots \\ &= 1-\frac{1}{2}x -\sum_{n=2}^\infty \frac{(2n-3)!!}{2^n n!}x^n \end{align}

그리고

$$ \int_0^{\pi/2} \sin^{2n} \theta  d \theta = \frac{\pi}{2}\frac{1}{2^{2n}} \left(\begin{matrix}  2n \\ n \end{matrix}\right)$$

임을 이용하면 다음의 결과를 얻는다:

\begin{align} \int_0^{\pi/2} \sqrt{1-e^2 \sin^2  \theta }  d \theta  &= \frac{\pi}{2} \left( 1- \frac{1}{2\cdot 2} e^2 -\sum_{n=2}^\infty \frac{(2n-1)!!(2n-3)!!}{ ((2n)!!)^2}  e^{2n}   \right)\\  &= \frac{\pi}{2}\left[1-  \Big(\frac{1}{2}\Big)^2 e^2 -\Big(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\Big)^2 \frac{e^4}{3} -\Big(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4 \cdot 6}\Big)^2 \frac{e^6}{5}-\cdots\right]    \end{align}

물론 이심률이 $e=0$인 원의 경우에는 $L=4b\times \frac{\pi}{2}=2\pi b$임을 확인할 수 있고, 이심률이 $e=1$인 경우(완전히 눌린 타원으로 끝이 연결된 두 선분)는  적분값이 1 이므로 둘레길이가 $L=4b$임도 확인할 수 있다.

참고:  $\sin \theta = (e^{i\theta}-e^{-i \theta})/2i$임과 이항정리를 쓰면

$$\sin^{2n} \theta = \frac{1}{(2i)^{2n}} \sum _{k=0}^{2n} \left( \begin{matrix}2n\\ k\end{matrix}\right)e^{-i 2(n-k) \theta }(-1)^k $$

이므로 적분을 하면

$$ \int_0^{\pi/2} \sin^{2n}\theta d\theta = \frac{(-1)^n}{2^{2n}} \left[ \sum _{k=0, k\ne n}^{2n} \left( \begin{matrix} 2n \\ k \end{matrix}\right)   \frac{(-1)^n - (-1)^k }{2i(n-k)} +\left(\begin{matrix}2n \\n\end{matrix}\right) \frac{\pi}{2}(-1)^n\right]$$

인데, $\left( \begin{matrix}2n\\ k\end{matrix}\right)=\left( \begin{matrix}2n\\ 2n-k\end{matrix}\right)$임을 고려하면 $\sum$ 내부의 항들은 서로 상쇄되어 위의 결과를 얻는다.  

그렇지만 위의 무한수열은 이심률이 작은 경우를 제외하고는 수렴이 빠르게 이루어지지 않아 실질적인 계산에 쓰기에는 문제가 있다. 좀 더 빠르게 수렴하는 타원 둘레길이 표현을 찾아보자. 이심률을 쓰는 식은 장축과 단축에 대해서 비대칭적이다. 좀 더 대칭적인 표현을 구하기 위해서 다음과 같이 두축의 차이와 두축의 합의 비를 이용하자. 

$$a = \frac{a+b}{2} (1- \sqrt{h}), ~b = \frac{a+b}{2} (1 + \sqrt{h})$$

로 정의하면

$$ h = \Big( \frac{a-b }{ a+b } \Big)^2$$

임을 알 수 있고, $a,b$에 대해서 대칭적이다.  그리고,

\begin{align} a^2  \sin ^2 \theta + b^2 \cos ^2 \theta &= \frac{a^2+b^2}{2} - \frac{a^2 - b^2 }{2} \cos(2\theta) \\ &= \frac{(a+b)^2 }{4} (1 + h +2\sqrt{h} \cos 2   \theta) \\ &=\frac{(a+b)^2 }{4}   (1+z)(1+\bar{z}) \end{align}

여기서 $z= \sqrt{h} e^{i 2\theta}$, $\bar{z}= \sqrt{h}e^{ - i 2\theta}$로 정의했다. 이항정리를 이용해서 적분인자를 전개하면 

\begin{align} L &= 2(a+b) \int_0^{\pi/2} \sqrt{ (1+z)(1+\bar{z})} d \theta    \\ &= 2(a+b) \sum_{m=0}^\infty \sum _{n=0}^\infty \left(\begin{matrix}1/2 \\ m \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix}1/2\\n\end{matrix} \right)  h^{(m+n)/2} \int_0 ^{\pi/2}  e^{i 2\theta (m-n)}d \theta \end{align} 

을 얻는다. 그리고

$$ \int _0^{\pi/2} e^{i 2\theta (m-n)} d \theta = \frac{\pi}{2} \delta_{mn}$$

이므로 다음과 같은 타원 둘레길이에 대한 식을 얻을 수 있다.

\begin{align} L& = \pi (a+b) \sum_{n=0}^\infty  \left( \begin{matrix} 1/2 \\ n\end{matrix} \right)^2 h^n \\ &= \pi (a+b) \left[ 1 + \frac{1}{4}h+ \frac{1}{64}h^2 + \frac{1}{256} h^3 + \dots \right]  \end{align}

여기서 $\left(\begin{matrix}1/2\\n\end{matrix}\right) = (1/2)(1/2-1)\cdots(1/2-n+1)/n!$로

$$\left(  \begin{matrix} 1/2 \\n \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 2n\\n\end{matrix} \right) \frac{1}{(1-2n)(-4n)^n} $$

이다. 완전히 납작한 타원($h=1$ or $e=1$)인 경우 $L=4b$이므로 

$$ \sum_{n=0}^\infty  \left( \begin{matrix} 1/2 \\ n\end{matrix} \right)^2=\frac{4}{\pi}$$

임을 확인할 수 있다.

지구 표면의 온도는 1년을 단위로 거의 주기적으로 변한다. 그럼 땅속의 온도는 시간과 깊이에 따라 어떻게 변할까? 지표면이 태양으로부터 받은 열은 일부는 반사되고 일부는 땅속으로 전달된다. 땅속에서 온도의 변화는 열방정식에 의해서 표현할 수 있다. 땅속의 온도분포 $u$가 지표면에서 깊이 $x$와 시간 $t$에만 의존한다면 $u(x,t)$가 만족하는 열방정식은(거리척도를 적당하게 잡아 계수를 단순화시킨다)

$$ u_t(x,t) = u_{xx} (x,t)$$

로 주어진다. $u(x,t)$가 $t$에 대해서 주기가 $1$년인 주기함수이므로 Fourier 급수를 이용해서 방정식을 풀도록 하자. 

\begin{gather} u(x,t) = \sum _{n=-\infty}^{\infty} C_n (x) e^{i 2\pi n t} \\ C_n(x)= \int_0^1 u(x,t) e^{-i 2\pi n t} dt \end{gather}

Fourier 계수 $C_n(x)$를 두 번 미분하면

\begin{align} \frac{d^2 C_n(x)}{dx^2} & = \int_0^1 u_{xx}(x,t) e^{-i 2 \pi n t} dt \\ &= \int_0^1  \frac{ \partial u (x,t)}{\partial t} e^{-i 2 \pi n t} dt \\ &= i 2\pi n \int_0^1 u(x,t) e^{-i 2 \pi n t} dt \\ &= i 2 \pi n C_n(x)\end{align}

이므로 $C_n$은 다음의 방정식을 만족해야 한다.

$$ \frac{d^2 C_n (x)}{dx^2}  = i 2\pi n C_n (x) $$

깊이 $x$가 증가할 때 온도가 발산하지 않는 조건을 고려하면 이 방정식의 해는 

$$ C_n (x) = \left\{ \begin{matrix}  A_n e^{- \sqrt{\pi n} (1+i)x}~~~n \ge 0 \\A_n e^{ -\sqrt{\pi |n|}(1-i)x}~~~n<0 \end{matrix} \right.$$

로 쓸 수 있음을 쉽게 알 수 있다. 따라서 열방정식의 해 $u(x,t)$는

$$ u(x,t) = \sum _{n=- \infty}^{\infty} A_n e^{- \sqrt{\pi  |n| }x} e^{ i (2\pi n t - \text{sign}(n) \sqrt{\pi |n| } x) }   $$

처럼 쓰인다. 온도는 깊이에 따라 감쇄를 하여 계절에 따른 온도변화가 점점 작아진다. 그리고 깊이에 따른 위상이 추가되므로 지표면에서의 온도변화와 다른 양상을 가지게 된다. 이를 구체적으로 보기 위해서 계절에 따른 지표면에서 온도 $u(x=0,t)$을 간단히 시간 $t$에 대한 사인함수로 근사하자. 이 경우 평균온도가 0인데, 평균온도가 0이 아니 경우는 여기서 구한 해에  평균온도만큼을 더해주면 된다.

$$u(0, t) = \sin (2\pi t)$$

지표면에서 Fourier 계수는 

\begin{align} C_n(0) =A_n  &= \int_0^1 u(0,t)   e^{-i 2\pi n t} dt \\ &=\left\{  \begin{matrix} \pm \frac{1}{2i} ~~~n=\pm 1 \\ 0~~\text{otherwise}  \end{matrix} \right. \end{align}

따라서 해는 

\begin{align} u(x,t) &= \frac{1}{2i} e^{-\sqrt{\pi}(1+i)x} e^{i2 \pi t} -\frac{1}{2i} e^{-\sqrt{\pi} (1-i)x }e^{-i 2\pi t} \\ &= e^{-\sqrt{\pi} x} \sin (2 \pi t - \sqrt{\pi}x) \end{align}

해를 보면 온도는 깊이에 따라 감쇄를 하여 온도변화가 점점 사라지고, 시간에 대해서는 깊이에 따른 위상변화가 생긴다. 특히 깊이 $x= \sqrt{\pi}$에서는 위상이 $\pi$ 만큼 변해서 지표면에서의 시간에 대한 온도변화와 완전히 반대로 행동한다. 즉, 겨울에는 따뜻하고 여름에는 시원해진다. 물론 이 깊이는 땅의 열확산계수($\kappa$)에 따라 달라진다. 열확산계수를 고려하려면 $x \to x/\sqrt{\kappa}$을 사용하면 된다. 땅의 열확산계수가 $\kappa \sim 0.1\times 10^{-6} \rm{m^2 / s=3.15 m^2/yr}$ 정도이므로 $x=\sqrt{\kappa \pi} \sim 3 \rm m$이다. 즉, 땅 속 깊이 $x\sim 3\rm m$ 정도이면 온도변화는 지표면의 $e^{-\pi}=0.043$배 정도로 줄어들고 겨울이 여름보다 상대적으로 더 따뜻하게 된다.

이는 물리적으로 쉽게 이해를 할 수 있는 현상으로 깊이 들어갈수록 온도차가 작아져서 열전달이 느려지므로 상대적으로 빨리 변하는 표면에서의 온도변화에 맞추지 못하여 변화가 지연되어 나타나는 것으로 볼 수 있다.

물이 가득찬 병을 오른쪽 그림처럼 관이 부착된 마개로 닫는다. 바닥쪽 출구를 열면 물이 흘러나와 관 속의 공기 기둥의 높이가 오른쪽 그림처럼 되었다. 이후 수면의 높이가 어느 구간에 있을 때 출구에서 흘러나오는 물의 속력이 일정할까?

1. 없다
2. A-B 구간
3. A-C 구간
4. B-C 구간

Q. 출구가 B 높이에 만들어져 있었다면 어떻게 될까?

동일한 두 용기에 같은 부피의 수은과 알코올이 들어 있다. 바닥에 동일한 구멍이 생긴다면 어느 쪽이 먼저 비워지는가?

1. 동시에
2. 무거워서 바닥에서 압력이 큰 수은
3. 가벼워서 쉽게 움직일 수 있는 알코올

광원이 후퇴하면서 내는 빛은 관찰자에게는 파장이 길어진 것으로 관찰되고(적색편이), 광원이 접근하면서 내는 빛은 파장이 짧아 보인다(청색편이). 광자의 에너지는 파장에 반비례하므로 도플러 효과는 광자의 에너지가 변했음을 의미한다. 그럼 도플러 효과에서는 에너지가 보존이 안되는 것일까? 아니면 차이나는 에너지는 어떻게 설명할 수 있는가?