사람이 줄을 아래로 당기면 그 힘만큼 줄에 장력($T$)이 발생하고 도르래를 통해서 사람이 타고 있는 상자를 위로 당긴다.
사람이 당기는 힘의 반작용은 사람(손)에게 작용하여서 위로 당긴다.
사람과 상자는 같은 가속도로 올라간다($=a$).
상자와 사람의 FBD
사람에게 작용하는 힘:
줄을 당기는 힘의 반작용=장력($T$):2
사람의 무게($Mg$):6
상자의 바닥이 떠 받치는 힘=수직항력($N$):4
상자에게 작용하는 힘:
줄이 당기는 힘=장력($T$):1
상자의 무게($mg$):5
사람이 상자를 누르는 힘=수직항력의 반작용($N$):3
사람-상자가 움직이려면 가속도가 $a \ge 0$ 이어야 한다.
즉, 자신의 무게와 타고 있는 상자 무게를 더한 값의 절반에 해당하는 힘으로 아래로 당겨야 한다. 간단하게 생각하면, 사람과 상자를 하나로 취급하면 이 둘을 당기는 힘은 두 줄에 걸리는 장력이 위로 향하고, 사람+상자의 무게는 아래로 향하므로 위로 올라가려면 최소한 위를 향하는 힘이 아래를 향하는 힘보다는 작지 않아야 한다.
같은 무게라도 자신이 당기면 절반의 힘으로 올라갈 수 있지만(a), 다른 사람이 당기면 무게 전체를 들어 올려야 한다(b). 그러나, 에너지의 관점에서 보면 이것은 조삼모사일 뿐이다. 왜 그럴까?
배가 어느 방향으로 움직이는 가를 알아보기 위해서는 배의 운동량 변화(힘 = 단위 시간당 운동량 변화)가 어느 방향으로 이루어졌는가를 보면 된다. 선풍기는 바람(공기 덩어리)을 만들어 돛으로 보내고 돛에서 공기 덩어리는 돛에서 충돌한 후 원래의 방향과 반대로 움직인다. 이 과정은 연속적으로 일어난다.
바람이 생기는 것은(바람이 배에 대해서 상대적으로 오른쪽으로 움직일 만큼 선풍기의 출력이 있어야 효과가 있다) 선풍기가 공기 덩어리의 운동량 변화를 일으키는 것을 의미하고(화살표: 1), 운동량 변화를 일으키기 위해서는 힘이 필요하므로 공기덩어리에게 선풍기가 힘을 주었음을 의미한다.
그 반작용으로 선풍기는 왼쪽으로 힘을 받으므로 왼쪽 방향으로 배의 운동량 변화(화살표:5)가 생긴다.
돛에 바람이 부딪히면 돛이 작용하는 힘(돛의 탄성력)에 의해서 운동량의 방향이 변한다(화살표:1에서 화살표:2) 이 과정에서 운동량 변화는 왼쪽 방향(화살표:3=화살표 2-화살표 1)으로 만들어진다.
돛은 바람의 방향을 바꾸는 힘의 반작용에 의해서 추가적인 오른쪽 방향의 운동량 변화(화살표:4)가 생긴다.
배에 생긴 전체 운동량(선퐁기+돛+배)의 변화량은 화살표:4와 화살표:5의 합이므로 오른쪽 방향의 알짜 운동량의 변화가 있다. 따라서 배는 오른쪽으로 이동한다.
바람의 알짜 운동량 변화는 화살표:1과 화살표:3의 합이므로 왼쪽 방향임을 알 수 있다.
선풍기에서 바람의 생성과 돛에서의 충돌이 동시 다발적으로 일어나므로 배가 뒤로 밀렸다가 앞으로 나가는 현상은 없다고 생각할 수 있다.
그러나 돛의 면적이 너무 작으면 바람의 대부분은 돛을 넘어 오른쪽으로 향하게 되고( 바람의 알짜 운동량이 오른쪽을 향함), 이 경우 운동량 보존법칙을 고려하면 배는 왼쪽으로 움직이게 된다. 대부분의 이 문제에 관련된 세팅은 돛이 충분히 넓다는 조건이 암묵적으로 깔려 있다.
도르래에 걸친 줄의 한쪽 끝에 바나나가 매달려 있고 반대편에는 원숭이가 매달려 있다. 원숭이와 바나나의 무게가 같아 처음에는 둘 다 정지한 상태다. 만약 원숭이가 줄을 당겨 위로 올라가려는 시도를 한다면 (어떻게?: 고정된 줄을 타고 위로 올라가려 할 때 사람은 자신의 몸무게보다 더 큰 힘으로 줄을 아래로 당기면 그 반작용으로 위로 올라가는 것처럼) 원숭이의 위치는 (지상 기준) 어떻게 변할까?
그런데 이 상황은 줄의 끝(바나나 쪽)이 고정된 상황이 아니다.
예상 답:
1. 원숭이는 위로 올라간다
2. 원숭이는 제자리에 머문다.
3. 원숭이는 아래로 내려간다.
1번 선택 이유: 원숭이가 위로 올라가기 위해서는 몸무게보다 더 큰 힘으로 줄을 아래로 당겨야 한다. 그 반작용으로 원숭이는 위를 향하는 가속도를 얻는다. 바나나도 같은 크기의 힘을 위쪽으로 받으므로 동일한 가속도로 위로 올라간다.
1번 선택하지 않는 이유: 줄의 끝이 고정이 되었으면 자신의 몸무게보다 더 큰 힘으로 줄을 당길 수 있지만 줄의 끝이 고정이 안되어 있으면 자신의 몸무게 이상의 힘을 주면 줄이 아래로 내려가므로 그 반작용을 받을 수 없다(자신의 몸무게만큼만 주면 반대편에서 같은 무게의 바나나 때문에 줄은 아래로 내려가지 않는다).
2번 선택 이유: 1번을 선택하지 않는 이유처럼 자신의 몸무게 이상의 힘을 줄 수 없을 것이므로 정지할 수밖에 없다.
2번 선택하지 않는 이유: 줄을 당기면 반대편 바나나는 위로 오르게 된다. 원숭이는 제자리에 가만히 있고 바나나만 제자리에 있으면 각운동량 보존 법칙에 위배된다. 도르래를 기준으로 생각하면 원숭이의 무게와 바나나의 무게는 반대방향의 토크를 만들므로 전체 토크는 없다. 따라서 각운동량은 보존되어야 하므로 바나나만 따로 움직일 수 없다. 바나나가 위로 올라가면 원숭이도 위로 올라가야 각운동량이 보존된다.
3번 선택 이유: 원숭이가 줄을 아래로 당기면 바나나가 위로 가속을 할 것이고 따라서 원숭이가 잡고 있는 부분은 아래로 내려갈 수밖에 없다.
3번 선택하지 않는 이유: 원숭이가 아래로 떨어지기 위해서는 자신의 무게보다 더 큰 힘이 아래로 작용해야 한다(자신의 무게는 바나나의 무게와 상쇄된다). 그런데 자신은 위로 당기므로 결코 아래로 향하는 힘은 자신의 무게 이상의 힘은 만들어지지 않는다.
다음 상황과 비교해 보자: A가 줄을 당기면 A는 앞으로 갈까 그 자리에 있을까 아니면 뒤로 갈까?
