Geometry & Recognition

복소함수

을 그림과 같은 contour에 대해서 적분을 한다. $f(z)$는 $z=0, 1$이 branch point이므로 그림처럼 branch cut을 선택한다. 

$C_1$에서 

이므로

$C_3$에서 

이므로

그리고, $C_2, C_4$에서 $$\int f(z) = O(\sqrt{\epsilon}) \rightarrow 0$$이므로

복소함수

을 contour 적분을 이용해서 구하자. $f(z$)의 branch point가 $z=i,-i, \infty$이므로, branch cut은 그림처럼 잡자. 그림과 같은 contour를 선택하여 적분을 하면,

$C_1$에서 

이므로 

$C_3$에서 

이므로

$C_4$에서 

그리고 $C_2$에서

$$\int_{C_2} f(z) dz = O( (\log \epsilon)  \epsilon) \rightarrow 0,$$

$C_\infty$에서는

$$\int_{C_\infty} f(z) dz = O((\log R)/R) \rightarrow 0.$$

따라서

복소함수

을 그림의 contour를 따라 적분한다. $f(z)$는 $z=0,\infty$이 branch point 이므로 cut line을 $+x$ 축으로 잡았다. $z=-1$은 double pole이다.

경로 $C_1$에서 

이므로

경로 $C_3$에서 

이므로

경로 $C_2$에서 

이므로

$$\int_{C_2}  f(z)dz = O( \epsilon^{1+a} ) \rightarrow 0.$$

경로 $C_\infty$에서도

$$\int_{C_\infty} f(z) dz = O(R^{a-1}) \rightarrow 0.$$

그리고, $z=-1$에서 residue값은

따라서, 

$$I= \int_{-1}^{1} \frac{dx}{ (1+x^2)\sqrt{1-x^2 }}=\frac{\pi}{\sqrt{2}} $$

복소함수

의 복소평면에서 contour integral을 이용해서 적분을 구하자. $f(z)$는 $z= \pm 1$을 branch point로 가지므로 branch cut은 이 두 branch point을 연결하는 선으로 잡는다. $z=\pm 1$에서 위상은 각각 $0\rightarrow 2\pi$로 선택한다. $z=\pm i$ 는 simple pole이다. 

branch cut 둘레를 도는 경로와 무한대를 도는 경로를 따라 적분하면 simple pole $z=\pm i$을 포함하므로 Cauchy의 residue 정리에 의해서:

이다. $C_1$에서

이므로,

.

 $C_3$에서 

이므로,

.

$C_2, C_4$에서

$$\int f(z) dz = O(\sqrt{\epsilon})\rightarrow 0,$$

$C_\infty$에서도

$$\int_{C_\infty} f(z)dz = O({ 1/R^2 })\rightarrow 0.$$

$z=\pm i$에서 residue은 각각 

이므로 적분값을 얻을 수 있다.