Geometry & Recognition

복소함수 $F(z)$의 inverse Z-transform은

$$ Z^{-1} [ F(z)] = \frac{1}{2\pi i} \oint F(z) z^{-n} dz~~~~ (n =0,1,2,...)$$

로 정의되는데, $$F(z) = \left( \frac{z-1}{z} \right)^\alpha ~~~~(\alpha = \text{Real})$$인 경우에 대해 구하자. $z=0$과 $z=-1$이 $F(z)$의 branch point이므로 그림과 같은 dog bone 모양의 경로(반시계 방향)를 선택한다. 

그러면 $ -\pi \le \arg(z), \arg(z+1)\le \pi$로 선택할 수 있다.  $z=0$과 $z=-1$을 감싸는 미소원에서 적분의 기여가 없고, $C_1$에서는 $z= x e^{-i \pi}$, $z+1 = (1-x) e^{i 0},~~(x: 1\to 0)$이므로 

$$ \int_{C_1}  = \int_1^ 0 \left( \frac{1-x}{x} \right)^\alpha e^{ i \pi \alpha } x^{n-1} e^{ -i \pi (n-1)}  e^{-i\pi}dx \\ = -e ^{- i\pi (n-\alpha) } \int_0^1  x^{n-1-\alpha} (1-x)^\alpha dx$$ 그리고 $C_2$에서는 $z= x e^{i \pi}$, $z+1=(1-x) e^{ i \pi},~~(x:0\to 1)$이므로

$$ \int_{C_2}= \int_0^1 \left( \frac{1-x}{x}\right)^\alpha e^{-i \pi \alpha} x^{n-1} e^{i \pi (n-1)} e^{i \pi }dx \\= e^{i \pi (n-\alpha) } \int_0^1 x^{n-\alpha-1 } (1-x)^\alpha dx $$ 따라서

$$ \frac{1}{2\pi i} \oint F(z) z^{-n} dz = \frac{\sin[ \pi (n-\alpha) ]}{\pi } \int_0^1 x^{n-\alpha-1 } (1-x)^\alpha dx $$그리고 Gamma 함수 $\Gamma(z)$를 사용하면,

$$ \frac{1}{2\pi i} \oint F(z) z^{-n} dz = \frac{\sin[ \pi (n-\alpha) ]}{\pi }\frac{\Gamma(n-\alpha) \Gamma (\alpha +1) }{\Gamma(n+1)}$$로 쓸 수 있고, 또 다음 관계

$$ \Gamma (m) \Gamma (1-m)=\frac{\pi}{\sin (\pi m)}$$를 이용하면

$$ \frac{1}{2\pi i} \oint F(z) z^{-n} dz = \frac{\Gamma(\alpha +1)}{\Gamma(n+1) \Gamma (\alpha -n+1)} = \begin{pmatrix} \alpha \\n \end{pmatrix}$$