Geometry & Recognition

$$\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^3} = \frac{2\sqrt{3}}{9}\pi$$

$$\int_0^\infty \frac{\log x dx}{1+x^3}  = -\frac{2}{27}\pi^2$$

함수 $$f(z) = \frac{(\log z)^2}{1+z^3}$$을 그림과 같은 key hole 경로에서 적분을 하자.

$z=-1, e^{i\pi/3}, e^{i5\pi/3}$은 $f(z)$의 simple pole이고, $z=0$은 branch point이므로 그림과 같이 cutline을 선택했다. 그러면 위상은 $0 \le \arg(z) \le 2\pi$로 선택할 수 있다. residue는 

$$ \text{Res}f(e^{i \pi}) = \frac{ (\log e^{i\pi})^2}{ (e^{i\pi}- e^{i\pi/3}) ( e^{i\pi}- e^{i 5\pi/3})} = -\frac{\pi^2}{3}$$

$$\text{Res}f(e^{i \pi/3}) = \frac{ (\log e^{i\pi/3})^2}{ (e^{ i\pi/3} - e^{i\pi})(e^{i\pi/3}- e^{i 5\pi/3})} = \frac{\pi^2}{54} (1+ i \sqrt{3})$$

$$ \text{Res}f(e^{i 5\pi/3}) = \frac{(\log e^{i 5\pi/3})^2 }{( e^{i 5\pi/3} - e^{i\pi})(  e^{i 5\pi/3} - e^{i \pi/3})}=\frac{25 \pi^2}{54} (1- i \sqrt{3}) $$

그리고 $C_1$에서 $z= xe^{i 0}~(x:0\to\infty)$, $C_2$에서 $z=x e^{i 2\pi}~(x:\infty\to 0)$이므로 

$$ \int_{C_1+C_2} = \int_0^\infty \frac{(\log x)^2  dx}{1+x^3} + \int_\infty^0 \frac{(\log x +{i 2\pi})^2 dx}{1+x^3}\\  = 4\pi^2 \int_0^\infty \frac{ dx}{1+x^3} - 4\pi i \int_0^\infty \frac{\log x dx}{ 1+ x^3}$$

그리고 $C_\epsilon$에서는 $\epsilon \log \epsilon\to 0$, $C_\infty$에서는 $\log R/ R^2\to 0$이므로 0으로 수렴한다. 따라서 Residue 정리를 쓰면 다음을 얻을 수 있다.

$$\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^3} = \frac{2\sqrt{3}}{9}\pi$$

$$\int_0^\infty \frac{\log x dx}{1+x^3}  = -\frac{2}{27}\pi^2$$