길이가 $\ell$인 무거운 줄의 양끝을 같은 높이로 고정했더니 그림처럼 아래로 $d$만큼 처지고 고정부위에서 수평과 $\theta=45^\circ$ 만큼 각을 이룬다. 한쪽 고정점에서 구슬이 줄을 타고 미끄러진다. 꼭짓점에 도달했을 때 가속도는 $g$의 몇 배인가? 단, 구슬의 무게 때문에 줄에 추가적인 변형이 생기지는 않는다.
줄이 만드는 곡선이 catenary라는 사실을 이용하면 쉽다. 중심축을 $x=0$으로 잡으면 줄은
$$ y = a \cosh(x/a) + c$$
의 형태로 주어진다. $a$는 장력의 수평 성분 $T_0$와 선밀도, 줄의 길이가 결정한다: $a = T_0/ \lambda g$. 또한 꼭짓점에서 곡률 반지름은 $R=a$로 주어진다. (참고: https://kipl.tistory.com/105)
줄이 평형상태이므로 고정점에 걸리는 장력이 $T$이면 수직 성분은 줄의 무게를 감당해야 하므로 $ 2T\sin \theta = \lambda \ell g $임을 알 수 있고, 수평 성분은 $T_0 = T\cos \theta = \lambda \ell g \cot (\theta) /2$이다. 따라서 $a = \ell \cot (\theta) /2$.
꼭짓점에서 내려왔을 때 구슬의 속력은 $v=\sqrt{2gd}$이고, 순간적으로 원운동을 하므로 구심 가속도를 가진다.
공기 저항이 없을 때 물체를 $v_0$ 속력으로 위로 던지면 최고점에 올라가는데 걸리는 시간과 다시 내려오는데 걸리는 시간은 동일하게 $t_{ff} = v_0/g$로 주어진다. 공기 저항이 있는 경우는 어떻게 될지 구체적으로 계산해보자.
반지름이 $R$인 공 모양의 물체가 속력의 제곱에 비례하는 공기 저항(끌림힘) $D= \frac{1}{2} C\rho_{air} A v^2 \approx 0.2 \rho_{air} \pi R^2 v^2$을 받을 때, 올라가는 동안 운동 방정식은 (물체가 받는 공기의 부력도 고려해야 하지만 여기서는 무시한다. 부력은 $g$을 약간 줄이는 효과를 만든다)
$v_0 =10\text{m/s}$로 ($\rightarrow t_{ff} = 1.02\text{s}$, $v_{terminal} \approx 36.6\text{m/s}$) 야구공을 공중으로 던지는 경우를 예로 들면, 차이는 대략 0.013초 정도로 계산된다. 던지는 속력이 종단속력에 가깝거나 더 크면 근사식을 사용할 수 없고 정확한 계산식을 이용해야 한다.
$v_0 = 40\text{m/s}$, $1/\gamma=36.6 \text{m/s}$ 일 때,