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마찰이 없는 바닥에 놓인 경사면(질량: $M$)을 따라 물체(질량: $m$)가 내려온다. 경사면에서 마찰도 없다면 물체가 받는 힘은 중력과 수직항력뿐이다. 이 수직항력의 반작용 때문에 경사면은 밀려나게 된다. 수평방향을 $x$-축, 수직방향을 $y$-축으로 잡고 FBD을 이용해서 물체와 경사면의 운동방정식을 쓰면, 경사면을 내려오는 물체의 가속도는

$$\sum F_x = N \sin \theta \ m\ddot{x}_1 \\ \sum F_y = N \cos \theta -mg = m \ddot{y}_1.$$

경사면은 수평방향 운동만 가능하므로 수평가속도는

$$\sum F_x = - N \sin \theta = M\ddot{x}_2.$$

물체가 경사면에서만 움직이므로 $x_1$, $y_1$, $x_2$가 완전히 독립적일 수 없다:

$$\tan \theta = \frac{y_1}{x_2-x_1} =\text{const}\quad \longrightarrow \ddot{y}_1 = (\ddot{x}_2-\ddot{x}_1) \tan \theta.$$

수직항력 $N$, 물체의 수평/수직 가속도 $\ddot{x}_1$, $\ddot{y}_1$, 그리고 경사면의 수평 가속도 $\ddot{x}_2$에 대한 4개의 식이 주어졌다. 이것을 풀면(연립방정식이므로 쉽다).

$$N = mg \frac{\cos \theta}{1 + \frac{m}{M} \sin ^2 \theta },$$

$$\ddot{x}_1 = g\frac{\sin \theta \cos \theta}{1 + \frac{m}{M} \sin ^2 \theta},$$

$$\ddot{y}_1 = - g \frac{ \Big(1+ \frac{m}{M}\Big) \sin ^2 \theta }{1 + \frac{m}{M} \sin ^2 \theta},$$ $$ \ddot{x}_2  = -g \frac{\frac{m}{M}\sin \theta\cos \theta}{1+\frac{m}{M} \sin ^2 \theta}$$

얻는다. 수평방향이나 수직방향 운동 모두 등가속도이다.

$M \gg m$인 경우를 보면, 경사면이 고정되어 있을 때 수직항력과 같음을 알 수 있다: $N\rightarrow mg\cos \theta$.

어려운 설명을 볼 수 있는 동영상:

youtu.be/xzKPlY4Dnrw

Posted by helloktk

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  1. hgmhc 2020.10.05 13:28 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    "이것들을 풀면"이 원래 어려운게 맞죠..?