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사슬(길이=$L$, 질량=$M$)이 수직으로 바닥으로 떨어질 때 바닥이 받는 힘은?

우선 떨어지는 부분은 사슬고리 사이의 마찰 등을 무시하면 오직 중력에 의해서 자유낙하한다. 사슬이 바닥에 닿을 때 바닥이 주는 충격력$( f)$에 의해서 정지하게 된다. 따라서 떨어지는 부분에 작용하는 알짜힘은 자체의 중력과 바닥이 주는 충격력$(f)$이다. 떨어지는 부분의 질량 $m(t)$는 시간에 따라 계속 변하고, 자유낙하이므로 

$$y(t)=\frac{1}{2} gt^2, ~~m(t)=\lambda (L- y(t))= \lambda (L -\frac{1}{2} gt^2 ) ,$$

로 주어진다. 운동방정식은(아래 방향=+)

$$ \sum F_y = m(t) g - f(t) = \frac{dp}{dt}= \frac{d(m(t) v(t) )}{dt} = \frac{dm(t)}{dt} v(t) + m(t) \frac{dv(t)}{dt}.$$

그런데, 떨어지는 부분은 자유낙하하므로

$$v(t)=gt, ~~\frac{dm(t)}{dt}=-\lambda g t$$

을 만족한다. 따라서 떨어지는 부분이 바닥으로부터 받는 충격력은

$$ m(t)g - f(t) = -\lambda g^2 t^2 +  m(t) g\quad \longrightarrow \quad f(t)=\lambda g^2 t^2.$$

사슬이 완전히 바닥에 떨어지는데 걸리는 시간은 $L$ 높이에서 자유낙하하는 데 걸린 시간

$$y=L\quad \longrightarrow \quad t=\sqrt{\frac{2L}{g}},$$

이므로 다 떨어지는 순간 $f$는 

$$ f(y=L) = \lambda g^2 \left(\sqrt{\frac{2L}{g}} \right)^2= 2\lambda g L = 2Mg. $$

이 순간 바닥에 작용하는 알짜힘은 $f$의 반작용과 이미 바닥에 정지한 사슬의 무게이므로

$$ F_{bot} = f(y=L) +Mg = 3Mg.$$

 

 

보다 직관적으로는 사슬의 끝부분이 바닥에 닿는 순간 운동량이 유한한 값에서 0으로 변하므로 바닥으로부터 끊임없이 충격량을 받아야 한다. $dm$의 질량이 정지하려면 바닥이 제공해야 할 충격량 $dJ$은

$$dJ = dm (v-0) = (\lambda dy)v \quad \rightarrow \quad f = \frac{dJ}{dt} =\lambda \frac{dy}{dt} v = \lambda v^2.$$

다 내려오는 순간 사슬의 속력은 $v^2 = 2gL$ 이므로,  $f= \lambda (2gL) =2Mg$.

 

참고 영상: https://www.youtube.com/watch?v=hoU_9DGMfzs

Posted by helloktk

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