Integration along a branch cut-001

728x90

$$I= \int_{-1}^{1} \frac{dx}{ (1+x^2)\sqrt{1-x^2 }}=\frac{\pi}{\sqrt{2}} $$

복소함수

의 복소평면에서 contour integral을 이용해서 적분을 구하자. $f(z)$는 $z= \pm 1$을 branch point로 가지므로 branch cut은 이 두 branch point을 연결하는 선으로 잡는다. $z=\pm 1$에서 위상은 각각 $0\rightarrow 2\pi$로 선택한다. $z=\pm i$ 는 simple pole이다. 

 

branch cut 둘레를 도는 경로와 무한대를 도는 경로를 따라 적분하면 simple pole $z=\pm i$을 포함하므로 Cauchy의 residue 정리에 의해서:

이다. $C_1$에서

이므로,

.

 $C_3$에서 

이므로,

.

$C_2, C_4$에서

$$\int f(z) dz = O(\sqrt{\epsilon})\rightarrow 0,$$

$C_\infty$에서도

$$\int_{C_\infty} f(z)dz = O({ 1/R^2 })\rightarrow 0.$$

$z=\pm i$에서 residue은 각각 

이므로 적분값을 얻을 수 있다.

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