방안에 뜨거운 물체가 놓이면 그 열은 시간이 지나면서 사방으로 퍼져나간다. 열전도 방정식은 열원에서 주위로 열이 시간에 따라 전달이 되는 프로세스를 기술하는 방정식이다. 이것을 이미지 필터링에서도 적용이 가능하다. 이미지상의 노이즈들도 하나의 열원으로 생각하여서 노이즈를 제거하는 과정을 열전도방정식을 써서 노이즈를 제거하는 과정을 기술할 수 있을 것이다. 그러나 열전도 방정식은 방향성이 없는 등방성 확산(isotropic diffusion process)을 기술한다. 이것은 열전도방정식을 바로 적용하면 이미지의 블러링에 의한 필터링과 유사한 효과를 얻을 뿐이다. 필터링를 하더라도 이미지의 에지를 보존하여야 이미지의 정보의 손실이 적은 필터링이 된다. 에지에서는 그라디엔트의 공분산 행렬의 고유치의 차이가 크고, 노이즈 소스나 코너등에서는 두 고유치의 크기가 유사하다. 따라서, 에지를 보존하기 위해서는 공간으로 확산하는 역할을 하는 이미지의 라플라스 항(Ixx + Iyy)을 그라디엔트의 공분산 행렬의 고유벡터와 고유치, 그리고 이미지의 hessian 행렬등을 조합하여서 invariant 한 형태를 만들어야 한다. 여러 가능한 후보군중에 하나의 예를 들면

I(t+dt) - I(t) =    f1(s) Trace( U U^T H) + f2(s) Trace(V V^T H), H=image hessian;

여기서, U,  V는 그라디엔트 공분산행렬의 두 고유벡터이고, s는 고유치의 합이다. f1과 f2의 함수형태를 고유치가 큰 방향에서는 suppressed 되고, 고유치가 작은 방향에서는 덜 suppressed 되게 적절히 선택하는 경우에 에지를 보존하는 필터링의 효과를 얻을 수 있다.

아래의 예는 이식을 써서 300번 iteration을 한 결과이다. 원본 이미지는 첨부한 논문에서 추출하였다.

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Posted by helloktk