한 점에서 선분까지 거리

두 점 $A$와 $B$가 만드는 선분 $\overline{AB}$가 있고, 한 점 $P$에서 이 선분까지 거리를 구하려고 할 때 단순히 $\overline{AB}$를 통과하는 직선과 점 $P$의 거리를 구해서 쓰면 안 된다. 그림처럼 $P$가 $P'$의 위치에 있는 경우에 $\overline{AB}$를 통과하는 직선과의 거리가 더 짧지만, 선분과의 거리는 $P'$와 $A$와 거리로 주어진다. 마찬가지로 $P$가 $P''$에 있을 때는 점 $B$와 거리가 최단거리다. 정리하면,
1. 선분 $\overline{AP}$와 $\overline{AB}$의 사이각이 $90^\circ$를 넘는 경우는 $A$까지 거리;
$$\cos (\text{사이각}) = \frac{(P.x - A.x)*(B.x - A.x) + (P.y - A.y)*(B.y - A.y)}{\overline{AP}\text{ 길이} * \overline{AB}\text{ 길이}} < 0 .$$
2. 선분 $\overline{AP}$의 $\overline{AB}$로의 정사영 길이가 $\overline{AB}$의 길이보다 클 때는 $B$까지 거리:
$$\text{정사영 길이} = \frac{(P.x - A.x)*(B.x - A.x) + (P.y - A.y)*(B.y - A.y)}{ \overline{AB}\text{ 길이}} > \overline{AB}\text{ 길이} .$$
3. 직선 $\overline{AB}$와의 거리 = $\overline{AP}$의 수선으로 정사영 길이:
$$\text{수선으로 정사영} = \frac{-(P.x - A.x)*(B.y - A.y) + (P.y - A.y)*(B.x - A.x)}{\overline{AB}\text{ 길이}} .$$

struct CfPt {
    double x, y;
    double DistanceTo(CfPt P) {
        return hypot(P.x - x, P.y - y);
    }
};
//선분과의 거리;
double SegmentDistance(CfPt A, CfPt B, CfPt P) {
    double lineLen = A.DistanceTo(B);
    if (lineLen == 0) return A.DistanceTo(P);  //A == B;
    // lineLen != 0 case
    double prj = ((P.x - A.x )*(B.x - A.x) + (P.y - A.y) * (B.y - A.y)) / lineLen;
    if (prj < 0) return A.DistanceTo(P);
    else if (prj > lineLen) return B.DistanceTo(P);
    else 
        //return normal_projection
        return fabs((-1)*(P.x - A.x)*(B.y - A.y) + (P.y - A.y)*(B.x - A.x)) / lineLen;
};

 

선분까지 거리를 컬러로 표현