Geometry & Recognition

자가 넘어지는 것은 자(+지우개)의 무게에 의한 토크 때문이다. 그러나 토크를 주더라도 물체의 회전 관성에 따라 회전 속력의 변화율이 달라진다. 회전 관성이 클수록 회전상태를 변화시키기가 어렵다. (회전 관성에서 왜 관성이라 단어가 붙었는지에 대한 이유다)

물체를 회전시키려는 토크는 회전축에서 무게중심까지의 거리에 비례하지만, 물체가 현재의 운동 상태를 유지하려는 경향을 나타내는 회전 관성은 회전축에서 무게중심까지의 거리의 제곱에 비례한다. 따라서 무게중심이 회전축에서 멀리 떨어진 경우가 회전 속력의 변화가 더디게 된다. 이는 망치를 손바닥 위에 세우려고 할 때 머리를 손바닥에 위치하게 세우는 것보다 손잡이 끝을 손바닥에 놓고 세우기가 더 수월한 이치와 같다. 정량적인 설명도 가능하다.

고정 도르래의 질량을 무시할 수 있으므로 양쪽 줄의 장력은 같아야 한다: $T$.

따라서 물체와 요요의  질량중심의 운동은 동일해야 한다. $\sum F_y = mg - T=ma~~(\text{내려가는 방향=+})$

즉, 물체와 요요는 동시에 바닥에 닿는다. 물체와 요요가 내려가는 가속도는 얼마인가?

요요의 시계 방향 회전 각가속도가 $\alpha$이면 중심축에 대한 회전 운동 방정식은 $\sum \tau_{cm} = TR = I \alpha$.

물체와 요요의 중심이 내려간 거리의 합은 요요에 감긴 줄이 풀린 길이와 같다: $2y = R\theta$.

이를 두 번 미분하면 $2a = R \alpha$

따라서 $T$, $\alpha$을 소거하면 

$$ a =\frac{g }{1+ 2I /mR^2 }$$

요요에 연결된 줄의 한 지점을 표시하면 이 지점의 가속도는 위쪽으로 왼쪽 물체가 내려가는 가속도 크기를 가진다.

중간 그림: 실패의 회전관성을 $I=\gamma mR^2$이라고 하면 일반적으로 $0<\gamma \le 1$이다. 마찰력의 방향이 반드시 중심의 이동과 반대로 작용하지 않으므로 사전에 마찰력의 방향을 바로 결정할 수 없다. 물체가 미끄러짐이 없이 구르는 경우는 다른 방법으로 마찰력을 결정할 수 있는 좋은 방법이 있다. 구르는 경우는 접촉점에 대한 순간적인 회전운동으로도 설명된다. 이 경우 마찰력은 토크에 기여하지 않으므로 실패의 운동식은

$$  I_{contact} \alpha = \sum \tau_{contact} = T(R-b),\quad (b=\text{radius of inner cyliner})$$

따라서 물체의 질량중심 가속도는 $(\tau_{contact} = (1+\gamma) mR^2)$ 

$$ a = R\alpha = \frac{1-b/R}{1+\gamma} \frac{T}{m}< \frac{T}{m}$$

질량중심의 가속도를 결정하는 외력은 장력과 마찰력인데, 장력만 고려할 때 가속도 $\frac{T}{m}$보다 작으므로 마찰력은 장력과 반대방향이어야 한다.