공기 저항이 없을 때 물체를 $v_0$ 속력으로 위로 던지면 최고점에 올라가는데 걸리는 시간과 다시 내려오는데 걸리는 시간은 동일하게 $t_{ff} = v_0/g$로 주어진다. 공기 저항이 있는 경우는 어떻게 될지 구체적으로 계산해보자.
반지름이 $R$인 공 모양의 물체가 속력의 제곱에 비례하는 공기 저항(끌림힘) $D= \frac{1}{2} C\rho_{air} A v^2 \approx 0.2 \rho_{air} \pi R^2 v^2$을 받을 때, 올라가는 동안 운동 방정식은 (물체가 받는 공기의 부력도 고려해야 하지만 여기서는 무시한다. 부력은 $g$을 약간 줄이는 효과를 만든다)
$$ m \frac{dv}{dt} = -mg -\ 0.2 \rho_{air} \pi R^2 v^2, $$
$$ \rightarrow \quad \frac{dv}{dt} = -g (1 + \gamma^2 v^2) , \quad\quad \gamma^2 = 0.2 \frac{\pi R^2 \rho_{air} }{mg} .$$
$\gamma$는 내려오는 과정에서 terminal speed의 역수를 의미한다. 시간에 대해 적분을 해서 속도를 구하면,
$$ v(t) = \frac{1}{\gamma} \tan \Big( -\gamma gt + \arctan(\gamma v_0) \Big)$$
최고점에 도달하는데 걸리는 시간은 $v(t_{up})=0$ 에서
$$ t_{up} = \frac{1}{\gamma g} \arctan(\gamma v_0) = \frac{v_0}{g} \Big(1 - \frac{(\gamma v_0)^2}{3}+....\Big) $$
로 주어지므로 공기저항이 없을 때보다 더 짧다. 최고점의 높이는
$$ h_{max} = \int_0^{t_{up}} v(t) dt = \frac{1}{\gamma^2 g} \ln \sqrt{ 1 + (\gamma v_0)^2 } =\frac{v_0^2}{2g} \Big( 1- \frac{(\gamma v_0)^2}{2 }+...\Big)$$
로 주어지므로 역시 공기 저항이 없을 때보다 낮다.
다시 내려오는 과정에서 중력과 끌림힘이 반대방향이므로 운동 방정식은
$$ \frac{dv}{dt}= -g (1 -\gamma^2 v^2)$$
로 주어지고, 이를 적분하면 (출발 시간을 $t=0$으로)
$$ v(t) = -\frac{1}{\gamma} \tanh (\gamma g t)$$
이를 다시 적분하면 낙하시간에 따른 높이를 얻을 수 있다: $h(0)=h_{max}$
$$ h(t) = \frac{1}{\gamma^2 g} \ln \frac{ \sqrt{ 1+ (\gamma v_0)^2 } }{ \cosh( \gamma gt)}$$
따라서 바닥에 떨어지는데 걸리는 시간 $t_{dn}$은: $ h(t_{dn}) = 0$
$$t_{dn} = \frac{1}{\gamma g}\text{arccosh}\sqrt{1+(\gamma v_0)^2} =\frac{1}{\gamma g} \ln \left(\gamma v_0 + \sqrt{1+ (\gamma v_0)^2 } \right) = \frac{v_0}{g}\Big( 1 - \frac{ (\gamma v_0)^2 }{6}+...\Big)$$
두 시간을 비교해보면 위로 던져진 물체가 최고점에 올라가는데 걸리는 시간보다 다시 내려오는데 걸리는 시간이 더 길다는 것을 볼 수 있다:
$$ {t_{dn} - t_{up}} \approx \frac{(\gamma v_0)^2}{6} t_{ff}$$
$v_0 =10\text{m/s}$로 ($\rightarrow t_{ff} = 1.02\text{s}$, $v_{terminal} \approx 36.6\text{m/s}$) 야구공을 공중으로 던지는 경우를 예로 들면, 차이는 대략 0.013초 정도로 계산된다. 던지는 속력이 종단속력에 가깝거나 더 크면 근사식을 사용할 수 없고 정확한 계산식을 이용해야 한다.
$v_0 = 40\text{m/s}$, $1/\gamma=36.6 \text{m/s}$ 일 때,
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