Geometry & Recognition

동일한 비커에 같은 양의 물을 채운 후 한쪽 비커에는 바닥에 연결된 줄로 탁구공을 완전히 잠기도록 만들었고, 다른 비커에는 스탠드와 줄을 이용해서 쇠공이 바닥에 닿지 않고 물속에 완전히 잠겨 있게 만들었다. 이 두 비커를 그대로 양팔 저울 위에 올리면 어느 쪽으로 기울까? 단, 탁구공과 쇠공의 부피는 같다. (이 문제는 googling을 하면 찾아볼 수 있을 정도로 유명하다)

1. 수평을 유지: 탁구공과 쇠공이 밀어낸 물의 부피가 같아 비커 바닥이 받는 압력도 동일하게 증가하므로

2. 탁구공 쪽: 쇠공은 스탠드가 지탱하여 영향이 없지만 탁구공의 무게는 결국 바닥이 받기 때문에

3. 쇠공 쪽: 부력은 같지만 탁구공에 연결된 줄은 위로 당겨 바닥을 누르는 힘이 감소시키므로

천칭(양팔 저울)의 양쪽 팔에 올려진 두 물체의 무게가 같아야 수평으로 균형을 잡는다. 물체의 무게 차이가 생기면 무거운 쪽으로 조금 기울인 상태에서 정지한다. 그리고 차이가 클수록 더 많이 기운다. 천칭은 양쪽 팔에 오려진 물체의 무게가 만드는 토크를 비교하는 장치로 더 큰 토크를 작용하는 쪽으로 기울게 된다. 천칭 팔이 기울어져도 무게가 큰 쪽이 항상 더 큰 토크를 만들므로 물리 관점에서 보면 팔이 수직이 될 때까지 회전을 해야 한다. 그런데 실제로는 조금 기운 상태에서 정지하는 것을 볼 수 있다. 왜 그런가?(축에 기름칠을 잘 해도 마찬가지이므로 마찰 때문은 아니다)

용수철 상수 $k$인 용수철에 질량 $m$인 물체를 매달면 길이가 $\ell$만큼 늘어난 위치까지 내려간다. 이 과정에서

1. 중력 위치에너지는 $mg\ell$ 만큼 감소한다. 

2. 용수철은 늘어났으므로 탄성 위치에너지가 $\frac{1}{2} k \ell^2$ 만큼 증가한다.

3. 늘어난 위치에서 "중력 = 탄성력" 이므로 $mg = k \ell$이어야 한다.

4. 증가한 탄성 위치에너지를 다시 정리하면, $\frac{1}{2} k\ell^2 = \frac{1}{2} (k \ell) \ell = \frac{1}{2} mg \ell$이다.

증가한 탄성 위치에너지가 감소한 중력 위치에너지의 절반밖에 안된다!!! 나머지는 어디로 갔을까? 에너지가 보존이 안되는 것일까?

오른쪽으로 속력 $v$로 와서 벽에 충돌한 후 왼쪽으로 속력 $v$로 나가는 경우 충돌 전과 후의 역학적 에너지는 같다. 같은 상황을 오른쪽으로 일정한 속력 $v$로 달리는 사람이 보면 처음 공은 정지해 있다가 충돌 후 왼쪽으로 $2v$의 속력으로 움직이게 된다. 이 관찰자 입장에서 보면 역학적 에너지가 보존이 안되는 것처럼 보인다? 그럴까? 역학적 에너지 보존은 관찰자에 따라 달라지는 개념인가?