지름이 $1~\text{mm}$인 구멍에서 나오는 녹색 레이저 포인터(파장: $\lambda = 532 ~\text{nm}$)를 달(지구-달 거리: $384000 ~\text{km}$, 반지름: $1734~\text{km}$)을 향해 쏠 때, 달에 생기는 레이저 반점의 지름은 얼마쯤 될까?
1. 1 m
2. 100 m
3. 1 km
4. 500 km
5. 달보다 크다.
그럼 레이저의 빛 지름이 $1~\text{m}$일 때, 달에 생기는 반점의 크기는 더 커질까 아니면 줄어들까?
| 도플러 효과에서 에너지 (1) | 2023.12.20 |
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책상 위를 구르는 동전이 책상 가장자리에 도달하면 모서리를 축으로 회전을 한다. (물론 모서리에서 마찰이 충분히 제공된다는 전제 하에서). 그러다가 모서리에서 떨어지게 되는데 언제일까?
모서리를 축으로 $\theta$만큼 회전한 상황에서 에너지 보존을 쓰면 위치에 따른 속력을 구할 수 있다:
$$mgR= \tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2} I_\text{coin} \omega^2 + mgR \cos \theta, \quad (v=R\omega, ~I_\text{coin} = \tfrac{1}{2} mR^2 )$$
$$ \rightarrow ~v^2 = \tfrac{4}{3} gR(1-\cos \theta)$$
동전의 질량중심은 모서리를 축으로 회전을 하는데 수직항력과 중력의 일부가 구심력을 만든다.
$$\sum F_c= - N+mg\cos \theta =\frac{mv^2}{R}$$
모서리와 접촉을 유지하기 위해서는 수직항력이 사라지지 않아야 하므로
$$N= mg \cos \theta -\frac{mv^2}{R} > 0 \quad \rightarrow \quad {v^2} < gR \cos \theta.$$
에너지 보존에서 얻은 결과와 결합하면 모서리에 접촉하고 있는 각 범위를 구할 수 있다.
$$ \tfrac{4}{3} (1-\cos \theta) < \cos \theta \quad \quad \therefore \theta <\cos^{-1}\left( \tfrac{4}{7}\right).$$
대략 $\theta = 55.15^\circ$에서 책상 모서리와 이별한다.
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