줄에 걸리는 장력을 줄의 단면적으로 나눈 값이 stress ($\sigma = T/A$)는 균일한 줄에서는 일반적으로 일정할 수 없다. 현수선에서 줄에 걸리는 stress를 유지하려면 줄의 단면적을 가변적으로 만들면 가능하다. 이 경우 현수선 중심선의 모양 $y(x)$가 어떻게 주어지는 알아보자. 현수선의 밀도가 $\rho$, 꼭짓점으로부터 떨어진 거리가 $s$인 지점의 단면적이 $A(s)$일 때, 힘의 평형 조건에서
두 지점 $x=\pm a$에 같은 높이로 고정되어 있는 길이 $L$인 줄이 만드는 곡선 $y(x)$는 catenary라고 불리는 곡선으로 표현됨은 이미 알고 있다. 이를 에너지 관점에서 구하도록 하자. 전체 계의 에너지는 평형상태이므로 줄의 중력 위치에너지만 존재한다. 줄의 선밀도가 $\mu$일 때 중력 위치에너지는
$$ U = \int {g y dm} = \int {g y \mu ds} = \mu g \int_{-a}^{a} y \sqrt{1+ (y')^2} dx$$
한 변의 길이가 1인 정사각형 내부의 임의의 두 점을 뽑았을 때 길이를 측정할 때 평균적으로 얼마나 될 것으로 예측할 수 있을까? 문제를 해결하기 위해서는 우선 주어진 길이가 특정한 값을 가질 확률밀도함수를 구해야 한다. $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 독립적이므로 우선 1 차원인 경우를 구한 후 해결하면 된다. 그리고 거리가 연속적이므로 주어진 거리 $(a)$ 이하일 확률 $P_1(a)$을 구한 후 그것의 미분을 구하면 $(p_1(a)da=dP_1)$ 주어진 거리에 대한 확률밀도함수를 얻을 수 있다. 두 위치 $x_1, x_2$가 선택될 때 거리는 $|x_1 -x_2|$이고, $|x_1 - x_2 | \le a$일 확률은 $x_1, x_2$을 좌표축으로 하는 평면의 정사각형 영역에서 회색 부분의 면적에 비례한다:
$$P_1(|x_1 -x_2|\le a) = 1 - (1-a)^2, \quad 0\le a \le 1$$
6개의 계수는 모두 독립적이지 않고 어떤 종류의 이차곡선인가에 따라 제약조건이 들어온다. 주어진 점 데이터 $\{ (x_i, y_i) | i=1,2,...,n\}$를 피팅하는 이차곡선을 각각의 데이터 점에서 대수적 거리 ($=|F(x_i, y_i)|$)의 제곱을 최소로 하는 조건하에서 찾도록 하자:
타원으로 피팅하는 경우 여러 가지 제약조건을 줄 수 있지만(e.g.: $a+c=1$, $\sqrt{a^2+b^2+...+f^2 }=1$ 등등) 여기서는 이차 곡선이 타원이기 위해서는 2차 항의 계수로 만드는 행렬 $\left(\begin{array}{cc} a & b/2\\b/2 & c\end{array}\right)$의 determinant (= $ac- b^2/4>0$)가 양수이어야 한다는 조건에서 (타원을 회전+평행 이동시키면 표준형 타원으로 만들 수 있는데, 이때 두 주축의 계수 곱이 determinant다. 따라서 타원이기 위해서는 값이 양수여야 된다)
$$ 4ac - b^2 = 1$$
로 선택하도록 하자. 이 제약조건을 넣은 타원 피팅은 다음 식을 최소화하는 계수 벡터 $\mathbf{a}=[a,b,c,d,e,f]^T$을 찾는 문제가 된다:
이므로 최소의 양의 고윳값에 해당하는 고유 벡터가 해가 된다. Silverster의 law of inertia를 이용하면 위의 고유 방정식에서 양의 고윳값은 딱 1개만 존재함을 보일 수 있다. 고유값 $\lambda$에 해당하는 고유 벡터가 $\mathbf{a}$일 때 임의의 상수 $\mu$ 배를 한 $\mu\mathbf{a}$도 같은 고유값을 갖는 고유벡터다. normalized 고유벡터는 제약조건 $\mu^2 \mathbf{a}^T . \mathbf{C}. \mathbf{a} =1$을 만족하도록 크기를 조정하면 $ \mathbf{\tilde{a}} = \mathbf{a} / \sqrt{\mathbf{a}^T. \mathbf{C}. \mathbf{a}}$로 주어진다.
이 일반화된 고유방정식의 풀이는 먼저 positive definite인 $\bf S$의 제곱근 행렬 $\bf Q=S^{1/2}$을 이용하면 쉽다. $\bf S$의 고유벡터를 구하면 eigendecomposition에 의해 $\bf S = R\Lambda R^T$로 쓸 수 있으므로 제곱근 행렬은 $\bf Q = R \Lambda ^{1/2} R^T$임을 쉽게 확인할 수 있다. 원래의 고유값 문제를 $\tt Q$을 이용해서 표현하면
$$ \bf Q a = \lambda Q^{-1} C a = \lambda Q^{-1} C Q^{-1} Qa$$ 이므로 더 다루기 쉬운 $\bf Q^{-1} C Q^{-1}$의 고유값 문제로 환원이 됨을 알 수 있다.
추가로, 고유 방정식은 $\mathbf{C}$가 $3\times 3$ 크기의 block으로 나누어질 수 있으므로 $[a,b,c]^T$ 에 대한 고유 방정식으로 줄일 수 있어서 쉽게 해결할 수 있다. 물론 scattering matrix을 구성하는 moment의 개수가 많아서 matrix 연산 패키지를 사용하지 않는 경우 코드가 길어지게 된다.
Note: 이 내용은 다음 논문을 정리한 것이다. Andrew Fitzgibbon, Maurizio Pilu, and Robert B. Fisher, Direct Least Square Fitting of Ellipses". IEEE TRANSACTIONS ON PATTERN ANALYSIS AND MACHINE INTELLIGENCE, VOL. 21, NO. 5, MAY 1999.