원판의 둘레에 감긴 실끝에 질량 $m$인 물체가 묶여져 있다. 물체에 충격을 주었더니 그림처럼 $v_0$의 속도로 원둘레에서 벗어난다. 실과 원의 접촉점이 이루는 각은 시간에 따라 증가하는데 어떤 의존성을 가지는가?

1

1. $\sqrt{t}$에 비례

2. $t$에 비례

3. $t^2$에 비례

 

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물체에 작용하는 힘은 알짜힘 장력뿐이고 장력은 일을 하지 않으므로 역학적 에너지가 보존된다. 반지름이 $R$일 때 풀린 실의 길이 $\ell = R\theta$이고, 물체는 실과 원의 접촉점을 기준으로 순간회전하므로 에너지는

$$E = \frac{1}{2}m v^2 = \frac{1}{2} m \ell^2 \dot\theta^2 = \frac{1}{2} m R^2 \theta^2 \dot\theta^2=\text{const}=\frac{1}{2}mv_0^2 $$

따라서 $\theta\dot\theta =\frac{v_0}{R} $이므로

$$ \theta (t) =\sqrt{\frac{2v_0}{R}   t}$$

 
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설현과 수지의 몸무게는 같다. 설현이 줄을 타고 위로 가속을 한다. 설현은 수지를 따라잡을 수 있을까? 도르래까지 거리가 충분히 있다고 생각하라.

1. 도르래의 회전관성을 무시할 수 있을 때

2. 도르래의 회전관성을 무시할 수 없을 때(줄은 도르래에서 미끄러지지 않는다)

로 나누어서 생각한다.

https://kipl.tistory.com/148

 

원숭이와 바나나

도르래에 걸친 줄의 한쪽 끝에 바나나가 매달려 있고 반대편에는 원숭이가 매달려 있다. 원숭이와 바나나의 무게가 같아 처음에는 둘 다 정지한 상태다. 만약 원숭이가 줄을 당겨 위로 올라가

kipl.tistory.com

 

 
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질량 $m$인 무거운 용수철에 연결된 질량 $M$인 물체를 힘 $F$를 주어 당기고 있다. 용수철이 늘어난 길이는? 단, 용수철 상수는 $k$이다.

1. $\frac{2m+M}{2k(m+M)}F$

2. $\frac{m+2M)}{2k(m+M)}F$

3. $\frac{m+M}{k(2m+M)}F$

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자연상태(길이 $=L$)의 용수철에 늘렸을 때 왼쪽에서 $x$만큼 떨어진 지점이 $f(x)$만큼으로 늘어난다면 미소부분 $dx$는 $dx +df$의 길이로 된다. 그리고 미소부분의 용수철 상수는 $k L/dx$이다 (용수철은 짧게 만들면 용수철 상수가 커진다).

용수철이 가속도 $a$로 움직인다면 늘어난 미소부분에 걸리는 장력이 왼쪽 부분과 물체 $M$을 가속시키므로 

$$ T= k\frac{L}{dx} df = kL \frac{df}{dx} =\Big( \frac{m}{L} x +M \Big)a  $$

을 얻는다. 따라서 

$$\frac{df}{dx}= \frac{a}{k} \left( \frac{m}{L^2} x + \frac{M}{L} \right)  ~\Longrightarrow~f(x) = \frac{a }{2k} \Big(m \Big(\frac{x}{L}\Big)^2 + 2M\frac{x}{L} \Big) $$ 

물체와 용수철에 작용하는 외력이 $F$이므로

$$a = \frac{F}{m+M}   \quad   \rightarrow~ \therefore f(L)= \frac{m + 2M}{2k(m+M)} F$$

확인: $m=0$인 경우 늘어난 길이는 $\frac{F}{k}$이어야 한다. 그리고 $m \gg M$인 경우는 $\frac{F}{2k}$이어야 한다.

 

https://kipl.tistory.com/427

 

무거운 용수철을 사용한 진자의 주기는?

용수철의 질량을 무시할 수 없는 경우 용수철 진자의 주기는 질량이 없는 경우보다 1. 길어진다. 2. 짧아진다. 3. 변함없다. 더보기 더보기 용수철에 매달린 물체의 속도가 $v$일 때 용수철이 가지

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가벼운 막대로 연결된 두 물체가 그림처럼 $v_0$ 속력으로 바닥에 탄성충돌을 한다($\theta = 30^\circ$). 충돌 직후 질량중심의 속도는?

1. $\frac{1}{7}v_0$

2. $\frac{2}{7}v_0$

3. $\frac{3}{7}v_0$

4. $\frac{4}{7}v_0$

 

오른쪽 물체는 언제 바닥에 충돌하는가?

 

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풀이: 

충돌하는 왼쪽 물체를 기준으로 잰 각운동량은(충돌 시 왼쪽 물체가 바닥에서 받은 impulsive force에 의한 토크 기여가 없는 지점) 충돌 직전/직후 보존된다(중력은 non-impulsive이므로 충돌 직전-직후의 각운동량에 영향을 주지 못한다). 충돌 직후 질량중심의 위쪽 방향 속도를 $v$, 질량중심에 대한 시계방향 회전 각속도를 $\omega$라 하면,

$$ L_i = L_f:~~(2m) v_0 \frac{L}{2} \cos \theta = (2m)(-v)\frac{L}{2} \cos \theta + \frac{mL^2}{2} \omega$$

탄성충돌이므로 충돌 직전과 충돌 직후(cm 이동 + 회전) 바닥에 대한 상대속도의 크기는 같아야 한다:

$$v_0 = \text{cm-vel} + \text{rot about cm} = v + \frac{\omega L}{2} \cos \theta $$

둘을 정리하면, 

$$ v=v_0 \frac{\sin^2\theta}{1+\cos^2 \theta}$$

$$\omega = \frac{4v_0}{L} \frac{\cos \theta}{1+\cos^2 \theta}$$

 

 
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바닥에 놓인 무거운 줄을 일정한 속도 $u$로 그림처럼 당긴다. 얼마의 힘이 필요할까? 줄은 바닥에서 미끄러지지 않고 부드럽게 접힌다고 생각할 수 있고, 줄의 선밀도는 $\lambda$다.

1. $2\lambda u^2 $

2. $\lambda u^2$

3. $\frac{1}{2}\lambda u^2$

 

질문2: 줄의 모든 부분이 움직일 때까지 줄에 해준 일은 얼마인가?

 
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