Geometry & Recognition

길이가 $L$인 막대가 한쪽 끝을 축으로 자유롭게 회전할 수 있다. 수직에서 $\theta_0 < \frac{\pi}{2}$만큼 벌린 후 놓았더니 주기가 $T$인 진동을 한다. 막대의 길이를 $4L$로 하고 같은 각을 벌린 후 놓았다면 진동의 주기($T'$)는 어떻게 되는가?

1. $\theta_0$에 상관없이 $T' =2T$
2. $T' > 2T$인데, $\theta_0 \ll 1$이면 $T' \approx 2T$
3. $T' < 2T$인데, $\theta_0 \ll 1$이면 $T' \approx 2T$
4. $\theta_0$ 범위에 따라  $T' > 2T$ 또는 $T' < 2T$이다.

풀이는 https://kipl.tistory.com/482의 하단

* https://kipl.tistory.com/488의 풀이:

공이 경사면을 미끄러짐이 없이 굴러 내려오고 있다. 경사면이 공으로부터 받는 힘의 방향은?

https://kipl.tistory.com/487의 풀이:

3개의 동일한 추를 역시 동일한 3개의 막대를 이용해서 그림처럼 연결하였다. pivot을 축으로 맨 아래 추를 흔들어 좌우로 진동시킬 때 주기를 $T_1$, 앞뒤로 진동시킬 때 주기를 $T_2$라면 $T_1/T_2$는

1. $1/2$

2. $1$

3. $\sqrt{3}$

4. $2\sqrt{3}$

https://kipl.tistory.com/484 의 풀이:

도르래에 길이 $L$인 고무줄이 걸쳐 있고 양 끝에는 질량 $M$인 물체가 매달려 있다. 고무줄은 용수철 상수가 $k$인 이상적인 용수철로 생각할 수 있다. 물체가 평형에 이르렀을 때 고무줄의 총길이는?

1. $L + Mg/2k $

2. $L + Mg/k$

3. $L + 2Mg/k$

4. 정보가 부족하다.

$$I = \int_{0}^{\infty} \frac{(\log x)^2}{x^2 + 1}dx=\frac{\pi^3}{8}$$

복소평면에서 함수 $f(z) =\frac{(\log z)^2}{z^2 + 1}$를 고려하자. $z=0, \infty$가 $f(z)$의 두 branch point이므로 $+x$축을 cut line으로 선택하고 그림과 같은 contoure을 따라 적분을 하자. $z=\pm i$는 $f(z)$의 두 simple pole이다.

$C_\epsilon$에서 적분은 $z=\epsilon e^{i \theta},~\theta:\pi\to 0$로 표현하면 

$$\lim_{\epsilon \to 0}  \int_{C_\epsilon} f(z)dz  = 0$$

$C_\infty$에서 적분도 0임을 쉽게 보일  수 있다.

$$\int_{C_\infty} f(z) dz = 0$$

$C_1$에서 적분은 $z=xe^{i0}, ~x:0\to \infty$이므로 

$$ \int_{C_1} f(z) dz = \int_0^\infty \frac{(\log x)^2}{x^2 + 1} dx= I$$

$C_2$에서 적분은 $z=xe^{\pi i}, ~x: \infty\to0$이므로( $\int_0^\infty \frac{\log x}{x^2+1}dx=0$)

\begin{align} \int_{C_2} f(z) dz &= \int _{\infty}^0 \frac{(\log x + \pi i )^2 }{x^2 + 1} e^{i \pi }dx \\ &= I + 2\pi i \int_\infty^0 \frac{\log x}  {x^2+1} e^{i\pi}dx -\pi^2 \int_\infty^0 \frac{dx}{x^2+1} e^{i\pi}dx \\   &= I + 0 - \frac{\pi^3}{2}\end{align}

Contour가 $z=i$ 포함하므로 residue 정리에 의해서 

$$ \int_{C_\epsilon + C_1 +C_2 +C_\infty} f(z)dz= 2\pi i \times \frac{(i\pi/2)^2}{2i}=-\frac{\pi^3}{4}$$

이므로 

$$ I = \int_0^\infty \frac { (\log x)^2 }{x^2+1} = \frac{\pi^3}{8}$$