길이가 $\ell$인 무거운 줄의 양끝을 같은 높이로 고정했더니 그림처럼 아래로 $d$만큼 처지고 고정부위에서 수평과 $\theta=45^\circ$ 만큼 각을 이룬다. 한쪽 고정점에서 구슬이 줄을 타고 미끄러진다. 꼭짓점에 도달했을 때 가속도는 $g$의 몇 배인가? 단, 구슬의 무게 때문에 줄에 추가적인 변형이 생기지는 않는다.
1. $\frac{d}{\ell}$
2. $\frac{2d}{\ell}$
3. $\frac{3d}{\ell}$
4. $\frac{4d}{\ell}$
5. 알 수 없다.
줄이 만드는 곡선이 catenary라는 사실을 이용하면 쉽다. 중심축을 $x=0$으로 잡으면 줄은
$$ y = a \cosh(x/a) + c$$
의 형태로 주어진다. $a$는 장력의 수평 성분 $T_0$와 선밀도, 줄의 길이가 결정한다: $a = T_0/ \lambda g$. 또한 꼭짓점에서 곡률 반지름은 $R=a$로 주어진다. (참고: https://kipl.tistory.com/105)
줄이 평형상태이므로 고정점에 걸리는 장력이 $T$이면 수직 성분은 줄의 무게를 감당해야 하므로 $ 2T\sin \theta = \lambda \ell g $임을 알 수 있고, 수평 성분은 $T_0 = T\cos \theta = \lambda \ell g \cot (\theta) /2$이다. 따라서 $a = \ell \cot (\theta) /2$.
꼭짓점에서 내려왔을 때 구슬의 속력은 $v=\sqrt{2gd}$이고, 순간적으로 원운동을 하므로 구심 가속도를 가진다.
$$a_c = \frac{v^2}{R} = \frac{ 2gd}{ \frac{\ell \cot\theta}{2}}=\frac{4d \tan\theta}{\ell}g$$
그런데, 각도가 $\theta\rightarrow \pi/2$로 되면 가속도가 무한히 커진다. 이는 접히는 꼭지점에서 순간적으로 속도가 반대방향으로 바뀌어야 하므로 생기는 unrealistic 한 결과다.
catenary에 의존하지 않고 좀 더 물리적으로 설명하는 방법이 없을까? 당연히 있다.
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