Geometry & Recognition

이전 문제(https://kipl.tistory.com/528)와 마찬가지로 b,c,e는 등전위이고, d,g,f도 등전위이다. 충전이 완료된 경우 축전기로 흐르는 전류가 없음을 고려하면 전체 등가저항은 10/3옴이다. 따라서 배터리에서 나오는 전류는 $\frac{6~\text{V}}{10/3~\Omega}=1.8A$이고, 축전기에 걸리는 전위차는 $5\Omega$에 걸리는 전위차와 같으므로 $5\Omega \times \frac{1.8~\text{A}}{3}=3~\text{V}$이다. 축전기에 저장된 전하는 $\rm (5~\mu F) \times (3~V)=15~\mu F$

b, c, e에서 h로 가는 최단 경로는 모두 같은 (4->3)옴이나 (5->3)옴의 두가지 조합으로만 표시되므로 이 세지점은 등전위다. 마찬가지로 d, g, f에서 a로 가는 최단 경로도 (4->2)옴, (5->2)옴의 두 가지 조합만으로 표시되므로 역시 등전위이다. 등전위 꼭지점을 가지는 삼각형 bce와 gdf는 4옴(cd), 5옴(cg), 5옴(bd), 4옴(bf), 4옴(eg), 5옴(ef) 6개 저항이 병렬로 연결된 모양이므로 두 삼각형 사이의 등가저항은 20/27옴이다. 따라서 전체 등가저항은 2/3 + 20/27 + 1 = 65/27옴. 

풀이:  판을 완전히 감싸는 가우스 곡면을 생각하면 판의 사이드에서 나가는 전기선속은 없으므로(면적=0) 앞면 또는 뒷면으로 절반씩 나간다. 가우스 법칙에 의해서 전체 전기선속은 $\sigma L^2 /\epsilon_0$이므로 앞면으로 나가는 전기선속은 

$$\frac{\sigma_0 L^2 }{2\epsilon_0}$$

풀이: 육면체의 각면에서 밖으로 나가는 전기선속은 그 면의 전하에 의한 전기선속($\Phi_1$)과 나머지 5면의 전하가 만드는 전기선속($\Phi_2$)의 합이다. 각각의 면이 동등하므로, 전체 육면체에서 나가는 전기선속은 $6(\Phi_0 + \Phi_1)$이고, 가우스 법칙에 의해서 이 값은 $6\sigma_0 L^2 / \epsilon_0$와 같다. 따라서 $\Phi_0 + \Phi_1=\sigma_0 L^2 / \epsilon_0$이므로 

$$ \Phi_1 = \Phi_0 = \frac{\sigma_0 L^2 }{2\epsilon_0}$$