설현과 수지의 몸무게는 같다. 설현이 줄을 타고 위로 가속을 한다. 설현은 수지를 따라잡을 수 있을까? 도르래까지 거리가 충분히 있다고 생각하라.

1. 도르래의 회전관성을 무시할 수 있을 때

2. 도르래의 회전관성을 무시할 수 없을 때(줄은 도르래에서 미끄러지지 않는다)

로 나누어서 생각한다.

https://kipl.tistory.com/148

 

원숭이와 바나나

도르래에 걸친 줄의 한쪽 끝에 바나나가 매달려 있고 반대편에는 원숭이가 매달려 있다. 원숭이와 바나나의 무게가 같아 처음에는 둘 다 정지한 상태다. 만약 원숭이가 줄을 당겨 위로 올라가

kipl.tistory.com

 

 
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사람이 타고 있는 상자를 도르래를 이용해서 위로 올리려 한다. 최소한 얼마의 힘으로 줄을 당겨야 하는가? 올라갈 수는 있는가? ($W_m$=사람 무게, $W_b$=상자 무게)

1. $ W_m + W_b$

2. $ (W_m + W_b)/2$

3. $ 2(W_m + W_b)$

더보기
  • 사람이 줄을 아래로 당기면 그 힘만큼 줄에 장력($T$)이 발생하고 도르래를 통해서 사람이 타고 있는 상자를 위로 당긴다.
  • 사람이 당기는 힘의 반작용은 사람(손)에게 작용하여서 위로 당긴다.
  • 사람과 상자는 같은 가속도로 올라간다($=a$).
상자와 사람의 FBD

 

사람에게 작용하는 힘: 

  • 줄을 당기는 힘의 반작용=장력($T$):2
  • 사람의 무게($Mg$):6
  • 상자의 바닥이 떠 받치는 힘=수직항력($N$):4

 

 

상자에게 작용하는 힘:

  • 줄이 당기는 힘=장력($T$):1
  • 상자의 무게($mg$):5
  • 사람이 상자를 누르는 힘=수직항력의 반작용($N$):3

 

 

사람-상자가 움직이려면 가속도가 $a \ge 0$ 이어야 한다.

 

즉, 자신의 무게와 타고 있는 상자 무게를 더한 값의 절반에 해당하는 힘으로 아래로 당겨야 한다. 간단하게 생각하면, 사람과 상자를 하나로 취급하면 이 둘을 당기는 힘은 두 줄에 걸리는 장력이 위로 향하고, 사람+상자의 무게는 아래로 향하므로 위로 올라가려면 최소한 위를 향하는 힘이 아래를 향하는 힘보다는 작지 않아야 한다.

 

같은 무게라도 자신이 당기면 절반의 힘으로 올라갈 수 있지만(a), 다른 사람이 당기면 무게 전체를 들어 올려야 한다(b). 그러나, 에너지의 관점에서 보면 이것은 조삼모사일 뿐이다. 왜 그럴까?

 

데모 동영상 감상:

youtu.be/5JQ43_-pyzw

 
 
 
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아래의 두 도르래 구성은 정상적으로 동작하는가?

https://kipl.tistory.com/124 풀이:

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고정 도르래의 질량을 무시할 수 있으므로 양쪽 줄의 장력은 같아야 한다: $T$.

따라서 물체와 요요의  질량중심의 운동은 동일해야 한다. $\sum F_y = mg - T=ma~~(\text{내려가는 방향=+})$

즉, 물체와 요요는 동시에 바닥에 닿는다. 물체와 요요가 내려가는 가속도는 얼마인가?

요요의 시계 방향 회전 각가속도가 $\alpha$이면 중심축에 대한 회전 운동 방정식은 $\sum \tau_{cm} = TR = I \alpha$.

물체와 요요의 중심이 내려간 거리의 합은 요요에 감긴 줄이 풀린 길이와 같다: $2y = R\theta$.

이를 두 번 미분하면 $2a = R \alpha$

따라서 $T$, $\alpha$을 소거하면 

$$ a =\frac{g }{1+ 2I /mR^2 }$$

요요에 연결된 줄의 한 지점을 표시하면 이 지점의 가속도는 위쪽으로 왼쪽 물체가 내려가는 가속도 크기를 가진다.

 
 
 
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