볼링공(반지름: $R$, 회전관성: $\frac{2}{5} mR^2$)이 굴러가다가 턱에 부딪치는 경우를 보자. 충돌이 비탄성적이라면 공은 턱(높이: $h$)을 기준으로 회전해서 턱 위로 올라갈 수 있다. 물론 부딪치기 직전 속도가 너무 작으면 오를 수 없고, 너무 크면 위로 튄다. 어떤 조건일 때 튀지 않고 턱 위로 올라갈 수 있을까?

1. 충돌 전후로 턱에 대한 각운동량이 보존되므로 충돌 직후 각속도 $\omega$는 충돌 전 속도($v$)를 알면 구할 수 있다.

$$ \omega=\frac{7}{2}\left(  1 - \frac{5h}{7R}\right) \frac{v}{R}.$$

2. 역학적 에너지 보존을 이용하면 공이 턱에 완전히 올라서기 위해서는 충돌 직후 각속도 $\omega$가  일정한 크기 이상이어야 한다:

$$ \omega  \ge \sqrt{\frac{10gh}{7R^2}}.$$

3. 충돌 후에는 공의 질량중심은 턱에 대해서 회전을 한다. 이때 구심력 역학을 하는 힘은 턱이 주는 수직항력($F_N$)과 이 수직항력 방향의 중력 성분($mg \cos \theta$)의 차이이다. 너무 빨리 회전하면 공이 턱에 붙어서 돌지 못하고 튕길 수 있다. 튀지 않고 회전하려면 어떤 조건이 들어오는가? 충돌 직후의 운동방정식이

$$mg \cos \theta -F_N = mR \omega^2$$

이므로 공이 튀지 않고, 즉 턱과 접촉을 유지하면서($F_N \ge 0$)  올라가기 위해서는 턱의 높이가 

$$ \frac{h}{R} \ge \frac{7}{17} \approx 0.41$$

을 만족해야 한다.

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위쪽 물체를 일정한 속도로 위로 당기다 보면 용수철로 연결된 아래쪽 물체가 어느 순간 바닥에서 떨어진다. 그런데 너무 빠르게 당기면 아래쪽 물체가 나중에 위쪽 물체와 부딪칠 수 있다. 당기는 속도가 얼마일 때 이런 현상이 가능한가? 압축된 용수철의 길이는 $L$이고, 용수철은 완전히 압축될 수 있다고 가정한다.(고무줄로 생각하면 된다)

힌트: 위쪽 물체와 같이 일정하게 위로 움직이는 관찰자 입장에서 생각하는 것이 쉽다.

 
더보기

처음 용수철은 원래 길이($L_0$)보다 $  mg /k=d_0$만큼 압축이 된 상태($L = L_0 -d_0$)이다. 바닥의 물체가 뜨기 위해서는 용수철이 원래길이보다 $d_0$만큼 더 늘어나야 한다. 위로 $v$로 움직이는 관찰자가 보면 바닥에서 떨어지기 직전 역학적 에너지는(위쪽 물체를 중력 위치에너지 기준점으로 삼음)

$$ E_i = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} kd_0^2 - mg(L + 2d_0)$$

충돌 직전 역학적 에너지는 용수철의 길이가 0이 되게 압축이 되었으므로

$$ E_f = \frac{1}{2} k (L+d_0)^2 $$

이다. 정리하면 

$$v^2 = \frac{k}{m} \left( L + \frac{2mg}{k} \right)^2 \ge  \frac{k}{m} \left( 2\sqrt{\frac{2Lmg}{k}} \right)^2$$ 

$$ \therefore~v \ge 2 \sqrt{2gL}$$

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Posted by helloktk
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