바닥에 놓인 무거운 줄을 일정한 속도 $u$로 그림처럼 당긴다. 얼마의 힘이 필요할까? 줄은 바닥에서 미끄러지지 않고 부드럽게 접힌다고 생각할 수 있고, 줄의 선밀도는 $\lambda$다.

1. $2\lambda u^2 $

2. $\lambda u^2$

3. $\frac{1}{2}\lambda u^2$

 

질문2: 줄의 모든 부분이 움직일 때까지 줄에 해준 일은 얼마인가?

 
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추의 속력은?

Physics/역학 2020. 11. 20. 09:58

높은 천정에 고정된 5 미터 줄의 반대편 끝에 추를 매달고 그림과 같은 위치에서 낙하시킨다. 줄이 팽팽해지는 직후 추의 속력은(m/s)?

1. $\sqrt {8g}$

2. $\sqrt {10g}$

3. $\frac {3}{5}\sqrt {8g}$

4. $\frac {3}{5}\sqrt {10g}$

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수직 아래로 4m를 내려오는 동안 추는 자유낙하를 한다. 이때 속도는 아래 방향이고 크기는 $v=\sqrt {2g\times 4}=\sqrt {8g}$다. 줄이 팽팽해지면 줄 방향으로는 순간적으로 충격력이 주어지고, 이 때문에 줄 방향 성분은 0이 된다. 줄에 수직인 방향 성분은 충격력이 없으므로 그대로 남아서 $v_\bot=\frac {3}{5}\sqrt {8g}$

Q2: 줄이 팽팽해진 이후 추는 처음 높이까지 다시 올라갈 수 있을까?

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사슬의 낙하나 당김 문제는 뉴턴의 운동법칙을 잘 이해하고 있는가를 테스트하기에 좋은 예를 제공한다. 한쪽 끝이 고정된 상태에서 사슬 뭉치를 떨어뜨리면 사슬은 떨어지면서 풀리게 된다.(사슬고리 사이의 마찰은 무시한다) 사슬이 다 풀리기 직전 끝을 잡고 있는 손에 걸리는 힘은? 물론, 사슬이 완전히 정지한 후에는 사슬의 무게만큼 힘이 걸린다.

1. $mg$

2. $2mg$

3. $3mg$

 

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사슬 뭉치는 떨어지는 동안에는 자유낙하를 한다. 떨어지는 거리를 $y$(아래 방향+), 속도를 $v$라면,

$$y= \frac {1}{2} gt^2,\quad v=gt$$

이고 다 떨어지는 데 걸리는 시간은 $t_1 = \sqrt {2L/g}$이다.

천장이 줄을 지탱하는 힘을 $f(t) ~(\uparrow)$라면, 사슬 전체(관심 대상은 사슬 전체임. 왜냐면 천장이 주는 외력 $f(t)$가 사슬의 끝에 작용하기 때문임)의 운동 방정식은

$$\sum F_y = mg - f(t) = \frac {dp}{dt}$$

떨어지는 동안 사슬의 운동량은 움직이는 부분의 질량이 $m'=m - \frac {1}{2} gt^2 \lambda$이므로 $p = m'v =\lambda (L- \frac {1}{2} gt^2)(gt)$로 주어진다. 따라서, 다 풀리기 직전에 지탱하는 힘(위쪽 방향)의 크기는

$$ f(t=\sqrt {2L/g}) = mg - m ( g - 3 g) = 3mg$$.

직관적으로는 떨어지는 사슬 뭉치에서 $dm$만큼의 질량이 풀리면 이 부분의 속도가 $v \rightarrow 0$으로  변한다. 따라서 운동량의 변화도 $dp = (dm) (0-v) = -vdm$ (-=위쪽 방향). 이 운동량에 변화를 일으키는 힘은 사슬을 통해서 전달되는 충격력이다(사슬은 중력도 같이 받고 있지만, 중력은 nonimpulsive 힘이므로 순간적으로 물체를 정지시키는 작용을 하지 못한다). 뭉치에서 풀려 정지하는 질량은 $dm= \lambda dy = \lambda v dt$이고, 다 풀리는 순간 속력 $v=\sqrt {2gL}$이므로, $dp = \lambda v^2 dt = 2mg dt$. 따라서 사슬 끝이 주어야 할 충격력은 $2mg$이고 여기에 사슬 자체의 무게를 더하면 사슬 끝에서 지탱해야 할 힘이 나온다.

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잡고 있던 질량 $m$인 물체를 놓아서 줄이 팽팽해진 직후 바닥에 놓인 질량 $2m$인 물체의 속도는 어떻게 될까?

1.  안 움직인다.

2.  $\frac {2}{3}\sqrt {gh}$

3.  $\frac {1}{3}\sqrt {gh}$

4. 정보가 부족하다.

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m이 가장 아래에 도달하기 직전 속력은 

$$ v= \sqrt{ 2g (2h)}  = 2 \sqrt{gh}.$$

줄은 팽팽해지는 순간 위쪽 방향으로 순간적인 힘(impulsive force)을 작용한다. 줄의 반대편 2m에도 같은 크기로 작용한다. m과 2m이 줄로부터 받는 충격량은 같다. 따라서 줄이 팽팽해진 후 속력을 u라면 (위쪽 방향+)

$$ m [ -u - (-v)] = 2m ( u - 0) \quad \rightarrow \quad u = \frac{1}{3} v = \frac{2}{3}\sqrt{gh}. $$

 

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사슬(길이=$L$, 질량=$M$)이 수직으로 바닥으로 떨어진다. 다 떨어지는 순간 바닥이 받는 힘은?

1. $Mg$

2. $2Mg$

3. $3Mg$

 

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우선 떨어지는 부분은 사슬고리 사이의 마찰 등을 무시하면 오직 중력에 의해서 자유낙하한다. 사슬이 바닥에 닿을 때 바닥이 주는 충격력에( 바닥의 수직항력) 의해서 정지하게 된다. 따라서 떨어지는 부분(관심 대상은 떨어지고 있는 부분과 충격력에 의해서 순간 정지하는 미소 질량까지 포함된 계이다. 왜냐면 바닥의 충격력 $f$가 미소 질량에 외력으로 작용하기 때문임)에 작용하는 알짜힘은 자체의 중력과 바닥이 주는 충격력$(f)$이다. 떨어지는 부분의 질량 $m(t)$는 시간에 따라 계속 변하고, 자유낙하이므로 

$$y(t)=\frac{1}{2} gt^2,  \quad m(t)=\lambda (L- y)= \lambda (L -\frac{1}{2} gt^2 ) ,$$

로 주어진다. 운동방정식은(아래 방향=+)

$$ \frac{dp}{dt} = \sum F_y = m g - f(t).$$

이다. 그리고

$$ \frac{dp}{dt}= \frac{d(m v )}{dt} = \frac{dm}{dt} v + m \frac{ d v}{dt} = - \lambda g t^2 + m g $$

이므로 떨어지는 부분이 바닥으로부터 받는 충격력은

$$ -\lambda g^2 t^2 +  mg = mg - f(t) \quad \longrightarrow \quad f(t)=\lambda g^2 t^2.$$

사슬이 완전히 바닥에 떨어지는데 걸리는 시간은 $L$ 높이에서 자유낙하하는 데 걸린 시간

$$y=L\quad \longrightarrow \quad t=\sqrt{\frac{2L}{g}},$$

이므로 다 떨어지는 순간 $f$는 

$$ f(y=L) = \lambda g^2 \left(\sqrt{\frac{2L}{g}} \right)^2= 2\lambda g L = 2Mg. $$

이 순간 바닥에 작용하는 알짜힘은 $f$의 반작용과 이미 바닥에 정지한 사슬의 무게이므로

$$ F_{bot} = f(y=L) +Mg = 3Mg.$$

 

 

보다 직관적으로는 사슬의 떨어지는 끝부분이 바닥에 닿는 순간 속도가 유한한 값에서 0으로 변하므로 바닥으로부터 끊임없이 충격량을 받아야 한다. $dm$의 질량이 정지하려면 바닥이 제공해야 할 충격량 $dJ$은

$$dJ = dm (v-0) = (\lambda dy)v \quad \rightarrow \quad f = \frac{dJ}{dt} =\lambda \frac{dy}{dt} v = \lambda v^2.$$

다 내려오는 순간 사슬의 속력은 $v^2 = 2gL$ 이므로,  $f= \lambda (2gL) =2Mg$.

 

참고 영상: https://www.youtube.com/watch?v=hoU_9DGMfzs

 
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