구하라가 볼 때 설현이 성소를 추월하는데 걸리는 시간은?

고유길이가 $L$인 두 열차 A(설현), B(성소)가 각각 $0.8c$, $0.6c$의 일정한 속도로 나란히 달린다. B가 앞서서 달리고 그 뒤로 A가 달린다. 지상에 정지한 구하라가 볼 때 A가 B를 완전히 추월하는데 걸리는 시간은? 즉, 구하라 기준으로 A의 앞부분이 B의 뒷부분에 도달한 순간부터 A의 뒷부분이 B의 앞부분을 지나치는 순간까지 시간을 구하면?

구하라 기준: 구하라에게는 두 열차의 길이가 각각 $L_A = L \sqrt{ 1- 0.8^2 } = 0.6L$, $L_B = L\sqrt{1-0.6^2}=0.8L$로 보인다. 설현이 성소를 완전히 추월하는 데 걸리는 시간을 $T(구하라 시계)$라 하면, 설현이 이동한 거리는 $v_A T$다. 이 거리는 (성소가 움직인 거리)+(성소열차  길이)+(설현열차 길이)=$v_BT + L_B + L_A$와 같아야 한다. 따라서

$$ T = \frac{L_A+ L_B}{v_A - v_B} = \frac{1.4L}{0.2c} = \frac{7L}{c}$$

성소 기준: 설현은 성소에 대해서 상대적으로 (속도변환공식을 쓰면) $u= 5c/113$의 속도로 앞으로 움직이므로 성소가 보기에 설현열차의 길이는 길이수축에 의해 $L_A = \sqrt{1- (5/13)^2}= 12L/13$로 보인다. 설현은 자신의 열차길이와 성소 열차길이($L$)를 더한 거리 $12L/13+L=25L/13$를 통과해야 되고, $5c/13$의 속도로 움직이므로 성소기준으로 추월에 걸리는 시간은 $T_B= 5L/c$(성소시계)이다. 그러면 지상의 구하라가 잰 시간은 시간지연때문에 $T = T/\sqrt{1-0.6^2}= 25L/4c$일까? 성소가 보기에 설현열차가 성소 열차의 뒷부분을 스치는 사건과 설현열차의 뒷부분이 성소열차의 앞부분을 스치는 사건은 성소기준으로 같은 장소에서 일어나는 두 사건이 아니므로 시간지연공식을 적용하여 구하라가 재는 시간을 구할 수 없다. 성소의 관성계에서 성소열차 뒤와 설현열차 앞이 스치는 사건은 $(t'=0, x'=0)$이라면 설현열차의 뒷부분이 성소열차의 앞부분을 스치는 사건은 $(t'=5L/c, x'=L)$에 일어난다. 이제 구하라의 관성계와 Lorentz 변환을 이용하면

$$ \Delta t _\text{구하라}= \gamma \left(\Delta t' + \frac{v\Delta x'}{c^2} \right)= \frac{5}{4} \left(\frac{5L}{c} + \frac{(0.6c)(L)}{c^2} \right)= \frac{7L}{c} $$

이는 설현의 관성계를 기준으로 하는 경우도 같은 방법으로 사용하면 동일한 결과를 얻을 수 있다.