평행판 축전기 외부에서 전기장은?

평행판 축전기가 있다. 두 극판 중심평면상에 있는 외부 한 지점에서 전기장은?

풀이: 

중앙평면에서는 대칭성에 의해서 전기장은  $y$ 성분만 존재한다. 극판전하밀도가 일정할 때,

$$ E_y = - 2 \times \frac{1}{4\pi \epsilon_0 } \int_\text{upper} \frac{\sigma dA \sin \theta }{r^2} $$인데 $dA \sin \theta$는 P에서 본 미소면적 $dA$의 정사영이므로 $dA\sin \theta /r^2 $은 P에서 본 $dA$의 입체각에 해당한다(정사영은 코사인을 쓰는 것이 좀 더 직관적인데 이렇게 하려면 각도를 극판에 수직한 방향에 대해서 정의하면 된다). 따라서

$$ E_y = -\frac{\sigma}{2\pi \epsilon_0 } \Omega$$

로 쓸 수 있다. $\Omega$는 P에서 본 위쪽 극판의 입체각이다. 극판에서 멀리 떨어진 지점일 경우(P에서  두 극판 중심까지 거리가 $R$) 

$$ \Omega \approx  \frac{A\sin \theta_0 }{R^2},~~~~\tan \theta_0 =\frac{d/2}{R}\approx \sin \theta_0$$이므로

$$ E_y \approx - \frac{\sigma A d}{4\pi \epsilon_0 R^3}= -\frac{p}{4\pi\epsilon_0 R^3}$$여기서 극판 전하에 의한 전기쌍극자 모멘트 $p$는 각 극판을 점전하로 본 근사식 $p\approx \sigma A d$을 썻다. 이 결과는 극판에서 먼 지점에서는 두 반대 부호의 극판이 만드는 전기쌍극자에 의한 전기장으로 근사됨을 보여준다.