단위구 내부점 사이의 평균 거리역수(mean reciprocal distance between points in a unit ball)

구 내부에서 두 지점 간 사이거리의 역수를 구한 후 평균을 내면 얼마의 값을 가질까? 이를 위해서 단위구를 생각하자.

단위구 내부의 임의의 두 위치를 $\vec{r}_1$, $\vec{r}_2$라고 하면 각 위치를 포함하는 미소부피 $dr_i^3$가 단위구 내에서 선택될 확률이 $dr_i^3 /B_1$ ($B_1$=volume of unit ball= $\frac{4\pi}{3}$)이므로 두 지점이 선택될 확률은 $dr_1^3 dr_2^3/B_1^3$이다. 두 위치의 사이거리는 $|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|$이므로 거리 역수의 평균은 

$$  \left< \frac{1}{|\vec{r}_1- \vec{r}_2|}\right>_\text{unit ball} =\frac{1}{B_1^2} \iint _\text{unit ball}  \frac{dr_1^3 dr_2^3 }{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2| } =? $$

먼저 $r_2$에 대해서 적분을 수행하면, 좌표계는 임의로 잡을 수 있으므로 $\vec{r}_2$의 극좌표를 $\vec{r}_1$을 $z$ 축으로 선택한 경우와 동일하게 잡자. 그러면 cosine 정리에 의해 사이거리 역수는 

$$   \frac{1}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|} = \frac{1}{\sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos \theta }}$$이므로 $r_2$ 적분은

$$I_2 = \int _\text{unit ball}\frac{dr_2^3 }{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|} = 2\pi\int_0^{1} r_2^2 dr_2  \int_{-1}^1 \frac{d\cos \theta}{\sqrt{r_1^2 + r_2^2 -2 r_1 r_2 \cos \theta }} $$ 먼저 $\cos \theta$ 적분을 하면,

$$\int_{-1}^1 \frac{d \cos \theta }{ \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 - 2r_1 r_2 \cos \theta }} = \frac{|r_1 + r_2| - |r_1 - r_2|}{r_1 r_2 }$$절대값 기호를 풀기 위해서 $r_1$ 구간을 쪼개서 적분을 하면,

$$ I _2 = 2\pi \left( \int_0^{r_1} \frac{ 2 r_2^2  dr_2}{r_1 }+\int_{r_1} ^1 2 r_2 dr_2 \right) = 2\pi \left(1 -\frac{1}{3}r_1^2 \right) $$

적분 $I$는 $I_1$이 오직 radial 좌표에만 의존하므로 쉽게 구해진다.

$$ I = \int _\text{unit ball}I_2 dr_1^3 = 4\pi \int_0^1 2\pi \left(1 - \frac{1}{3} r_1^2 \right) r_1^2 dr_1 = \frac{32}{15} \pi^2 $$

로 얻어지고, 거리역수의 평균은

$$  \left< \frac{1}{|\vec{r}_1- \vec{r}_2|}\right>_\text{unit ball} =\frac{1}{B_1^2} \iint _\text{unit ball}  \frac{dr_1^3 dr_2^3 }{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2| } =\frac{6}{5}$$

이 결과는 물리적인 상황을 이용하면 더 쉽게 구할 수 있다. 예를 들면 균일하게 대전된 전하구의 전기위치에너지는 그 전하구를 구성하는 점전하 사이의 전기위치에너지의 합인데, 두 점전하의 전기위치에너지가 사이거리의 역수에 비례하므로 전하구의 전기위치에너지를 구하면 거리역수의 평균을 구할 수 있다. 균일한 전하구의 전기위치에너지는 대칭성 때문에 위와 같은 복잡한 적분을 하지 않더라도 쉽게 구할 수 있다.

역으로, 전하 $Q$로 대전된 반지름 $R$인 전하구의 전기 위치에너지는 전하구에 포함된 미소점전하 사이의 전기위치에너지의 절반이므로 

$$ U_C = \frac{1}{2} \sum_{i,j}\frac{k q_iq_j}{|\vec{r}_i - \vec{r}_j|}= \frac{k}{2} Q^2 \left< \frac{1}{|\vec{r}_i -\vec{r}_j |}\right> = k \frac{3}{5} \frac{Q^2}{R}$$로 쓰여짐을 알 수 있다.