가장자리가 당겨진 원판의 각속도는?

미끄러운 바닥에 놓인 원판의 가장자리 한 지점(O)을 일정한 가속도로 당기기 시작한다. 이후 원판의 회전각속도를 회전각으로 표현하면? 처음 원판은 정지상태에 있다.

풀이:

원판은 O을 기준으로 회전을 하면서 끌려간다. 질량중심의 가속도는 따라서 O점의 가속도 + O점에 대한 회전에 따른 가속도(구심+접선)의 벡터합으로 주어진다. 회전각속도가 $\omega$, 회전각가속도 $\alpha$일 때 구심가속도 = $a_c = R\omega^2$, 접선가속도는 $a_t = R\alpha$그리고 O점에만 힘이 가해지므로 O점에 대한 토크가 없으므로 토크 방정식은 $$ \sum \tau_O = 0 = I _{cm} \alpha + m(R\alpha)R - ma (R \cos \theta) $$

$$ \to~~ \alpha =\frac{ mRa }{I_{cm} + mR^2 } \cos \theta = \frac{2a}{3R} \cos \theta $$

회전각에 대해서 적분하면 

$$ \frac{1}{2} \omega^2 = \int_0^ \theta \alpha d \theta = \frac{ 2a}{3R} \sin \theta $$

$$ \to~~ \omega = \sqrt{  \frac{4a}{3R} \sin \theta}$$

물론 $0\le \theta \le \pi$인 범위다. 그 이후는 반대로 운동을 한다.