Geometry & Recognition

주어진 이미지의 gaussian scale space의 표현은 이미지와 gaussian kernel의  convolution 결과로 주어진다.
$$L(x, y; σ)= G(x, y; σ) * I(x, y);$$

이 표현은 임의의 $σ$에 대해서 정의되나 실제적으로는 유한한 구간의 값들만 취급한다. 그리고 스케일 값이 한 옥타브를 넘어서는 경우에는 원본 이미지의 크기를 유지할 필요가 없다. 주어진 스케일보다 작은 특징들은 고려 대상이 되지 않는다는 점을 인식하면, 스케일이 두 배로 커지는 경우에는 원본 이미지를 반으로 줄이고 스케일은 동일하게 유지하는 것이 훨씬 더 이득이다. 따라서 scale space를 이미지 pyramid로 표현하는 것이 자연스럽다.
아래 예는 3 옥타브까지 scale space를 표현한 것이다. 각 옥타브에서 3 개의 구간(수직 방향)을 갖는다(각 옥타브에서 마지막 이미지는 비교를 위해 넣은 것이다). 한 단계 위 옥타브의 이미지는 전 단계 옥타브의 동일한 레벨의 이미지를 1/2 다운 샘플링하면 바로 얻을 수 있다.

*** $L(x; σ) = G(x; σ) * I(x)$ 의 1/2 down-sampling 이미지 $L'(x;\sigma)$는 (1-dim만 고려해도 충분하다)
$$\begin{align} L'(x; σ)\equiv L(2x; σ)  &= \int \frac{1}{σ} \exp\Big[-\frac{(2x-x')^2}{2σ^2}\Big] I(x') dx',   \quad (x'\rightarrow 2x') \\&=\int \frac{1}{σ} \exp\Big[- \frac{(2x-2x')^2}{2σ^2} \Big] I(2x') d(2x')\\&= \int \frac{1}{\sigma/2} \exp \Big[ -\frac{(x-x')^2 }{2(σ/2)^2}\Big] I(2x') dx'   \\  &=G(x; σ/2) * I(2 x);\end{align}$$
임을 알 수 있다. 즉, 스케일 $σ$로 gaussian convolution 이미지를 1/2 다운샘플링한 것은 1/2 다운샘플링한 이미지를 $σ/2$ 스케일로 gaussian convolution 결과와 같다. 따라서 스케일이 2배인 이미지가 필요하면 현재의 스케일에서 이미지를 반으로 줄이면 된다.