Geometry & Recognition

그림과 같이 마찰이 없는 평면에 생긴 구멍을 통해 두 물체 A($m$), B($M$)가 줄로 연결되어 있고 A가 반지름 $r$인 원을 일정한 각속도 ${\omega }_0$로 회전을 한다. 이제 물체 B을 살짝 아래로 당겼다가 놓으면 위-아래로 진동을 하게 된다. 이 진동의 주기를 구하라.

힌트: 반지름 $r_0$인 원운동할 때는 장력이 A의 구심력 역할을 한다. 따라서

$$\text{평형상태:}Mg=T_0=m{\omega }_0^2{r}_0$$

반지름이 $\mathrm{\Delta }r$(평형위치에서 B의 변위 증가분으로 $d^2\mathrm{\Delta }r/d{t}^2=a$) 만큼 줄어들었을 때 B의 가속도를 $a$라면 B의 운동방정식은 

$$Mg-T=Ma$$이고 A는 각속도가 변하는데 이 과정에서 각운동량이 보존되므로 변하는 각속도를 구할 수 있다.

$$m{r}^2\omega =m(r_0-\mathrm{\Delta }r{)}^2\omega \to \omega =\frac{{\omega }_0}{(1-\mathrm{\Delta }r/r_0{)}^2}$$

그리고 A가 중심방향의 가속도 $a_A=a+{\omega }^2(r-\mathrm{\Delta }r)$를 가지므로 운동방정식은

$$T=m(a+{\omega }^2{r}_0(1-\mathrm{\Delta }r/r_0))$$

$$=m(a+{\omega }_0^2\frac{r_0}{(1-\mathrm{\Delta }r/r_0{)}^3})\approx m(a+{\omega }_0^2{r}_0+3{\omega }_0^2\mathrm{\Delta }r)$$여기서 $|\mathrm{\Delta }r|\ll r_0$임을 사용했다. $T=M(g-a)$이므로

$$(M+m)a=-3m{\omega }_0^2\mathrm{\Delta }r$$이므로 가속도가 변위의 음수에 비례함을 얻을 수 있고, 이는 단순조화운동임을 의미한다. 그리고 이 단순조화진동의 각진동수는

$$\omega ={\omega }_0\sqrt{\frac{3m}{m+M}}$$

다른 방법으로는 https://kipl.tistory.com/760에서의 결과를 이용해도 된다.

도르래에 선밀도가 $\lambda$인 충분히 줄이 걸쳐있고(바닥에 쌓인 줄의 길이는 충분하다), 줄의 중간에 원숭이가 아래로 내려가지 않도록 하기 위해서 줄을 아래로 일정한 속도로 당긴다. 얼마의 속도로 당겨야 하는가? 

힌트: 줄 자체의 무게는 도르래 양쪽에 같은 길이의 줄이 늘어져 있으므로 고려할 필요가 없다. 원숭이가 아래로 내려가지 않게 하기 위해서는 줄을 아래로 당겨야 한다. 이 힘의 반작용이 원숭이의 중력과 같으면 원숭이는 줄의 중간에서 일정한 높이를 유지하면서 있을 수 있다. 줄이 일정한 속도 $v$로 움직이면 오른쪽 바닥에 정지해 있는 줄이 속도 0에서 $v$로 변하게 되는데 이 과정에서 필요한 impulsive force은 $T=vdm/dt=\lambda v^2$이다. 이 힘이 원숭이의 무게와 같으면 원숭이는 제자리에 정지상태를 유지할 수 있다.

$$mg=\lambda v^2\to v=\sqrt{\frac{mg}{\lambda }}$$

반지름 $R$인 반구의 꼭대기부터 길이 $\ell$인 줄이 걸쳐 있게 잡고 있다가 놓았다. 운동을 시작하는 시점에 줄의 어느 부분에 걸리는 장력이 가장 클까? 단, 마찰은 없고, 줄의 단위길이당 질량은 $\lambda$이다.

풀이: 줄에 걸리는 중력이 반구의 중심에 대한 토크를 만들어 줄이 미끄러지게 한다. 각 $\theta$ 근처의 미소 부분에 작용하는 중력이 만드는 토크가 

$$d\tau =(gdm\sin \theta )R$$

이고,  미소질량이  $dm=\lambda Rd\theta$이므로 다 더하면

$$\tau ={\int }_0^{\ell /R}\lambda g{R}^2\sin \theta d\theta =\lambda g{R}^2(1-\cos \frac{\ell }{R})$$

줄의 회전관성은 $I=m{R}^2=\lambda \ell R^2$이므로 회전각가속도는

$$\alpha =\frac{\tau }{I}=\frac{g}{\ell }(1-\cos \frac{\ell }{R})$$

다시 미소 부분에 작용하는 접선방향의 가속도는 양끝에서 장력의 차이와 중력의 접선성분이 있다. 접선방향 운동방정식은

$$\sum F_t=dT+dmg\sin \theta =dma,a=R\alpha$$

$$\to dT=\lambda Rd\theta (a-g\sin \theta )$$

을 얻는데 장력의 최댓값은 $dT/d\theta =0$인 위치다. 즉,

$$\frac{dT}{d\theta }=\lambda R(a-g\sin \theta )=0$$에서

$$\theta ={\sin }^{-1}\frac{a}{g}={\sin }^{-1}\left[\frac{R}{\ell }(1-\cos \frac{\ell }{R})\right]$$

줄의 짧은 경우 $\sin \theta \approx \theta$, $\cos \frac{\ell }{R}\approx 1-\frac{1}{2}(\frac{\ell }{R}{)}^2$이므로

$$\theta \approx \frac{\ell }{2R}$$

을 얻는 데 줄의 중간지점에서 장력이 가장 큼을 알 수 있다.