회전하는 물체에 연결된 추의 가속도는?

마찰이 없는 테이블 중앙에 있는 구멍을 통해 두 물체 A와 B가 줄로 연결되어 있다. B를 고정한 채 A를 일정한 각속도 ${\omega }_0$로 회전시킨다. 이때 구멍에서 A까지 거리는 $r_0$이다. 이제 B가 움직일 수 있게 놓아둔다면 그 순간 B의 가속도는?

힌트: 줄에 걸리는 장력을 $T$라면 B의 운동방정식은 

$$m_{B}g-T=m_B\ddot{z}(+z:\downarrow )$$

A의 운동은 radial 방향과 접선방향으로 운동으로 구분할 수 있는데 A에 작용하는 힘은 장력뿐이므로

$$-T=m_A(\ddot{r}-r{\omega }^2)\text{and}r\alpha +2\dot{r}\omega =0$$

A와 B는 줄로 연결되어 있으므로 $z+r=const\to \ddot{z}=-\ddot{r}$이므로 

$$\ddot{z}=\frac{m_{B}g-m_{A}r{\omega }^2}{m_A+m_B}$$

인데, $r\to r_0$, $\omega \to {\omega }_0$을 대입하면

$$\ddot{z}(0)=\frac{m_{B}g-m_A{r}_0{\omega }_0^2}{m_A+m_B}$$

A에 작용하는 외부토크가 없으므로 각운동량이 보존된다: $\omega r^2=const$. $r$에 대한 방정식으로 바꿔 쓰면

$$\ddot{r}=\frac{m_A{\omega }_0^2{r}_0^4/r^3-m_{B}g}{m_A+m_B}$$이 미분방정식을 수치적으로 풀 수 있다. $m_B$에 걸리는 중력은 구멍에서 $m_A$까지 길이를 짧게 하려고 하지만, 각운동량 보존때문에 줄이 짧아지면 centrifugal barrier가 높아지게 되므로 다시 길이가 늘어나는 운동을 반복한다. 이는 행성의 타원궤도 운동과 유사한 특성을 가진다.