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속도 $v$의 총알($m$)을 각각 길이 $L$인 줄에 매달린 물체($M$)와 길이 $L$인 막대($M$) 끝을 향해 발사했다. 총알은 물체와 막대에 박힌 후 함께 운동한다. 두 물체가 올라갈 수 있는 최대 높이는 (수직에 대해서 기울어진 최대각) 어느 쪽이 더 높은가? 단, 막대를 지탱하는 회전축에 마찰은 없다.

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Posted by helloktk

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10명의 몸무게가 같은 사람이 지붕이 없는 정지한 열차에 타고 있다. 열차와 레일 사이의 마찰은 무시할 수 있다. 사람들은 열차 위에서 달리기를 하여 뒤쪽으로 뛰어내린다. 각 사람이 뛰어내리는 속도는 열차 위에서 볼 때 $u$로 일정하다.(열차에 대한 상대속도가 일정) 어떤 방식으로 뛰어내려야 열차의 최종 속도가 가장 빠를까?

1. 10명이 동시에 뛰어내린다.

2. 1명씩 차례로 뛰어내린다.

3. 차이 없다.

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풀이: 사람의 질량을 $m$, 열차의 질량을 $M$로 놓고, 한꺼번에 뛰어내리는 직 후 열차의 속도를 $V$라면, 사람의 속도는 $V-u$이다(지상 기준). 운동량이 보존되므로

$$ 0 = MV + Nm(V-u)\quad \rightarrow \quad V = \frac{Nm}{M+Nm}u$$. 

순차적으로 뛰어내리는 경우: 열차에 n명의 사람이 남아 있을 때 속도를 $V_n$이라면($V_N=0$), 한 명이 추가로 뛰어 내려면 열차의 속력은 $V_{n-1}$이고 되고(이때 사람의 속도는 $V_{n-1}-u$(지상 기준)), 이 과정에서 운동량 보존을 적용하면

$$ (M+ nm)V_n = (M + (n-1) m) V_{n-1} + m(V_{n-1}-u)$$

$$ \therefore V_{n-1}=V_n + \frac {m}{M+nm} u$$

따라서 0명이 남았을 때 속도 $V_0$는

$$V_0 = V_N + \frac{m}{M+Nm}u + \frac {m}{M+(N-1) m} u +\cdots+\frac{m}{M+m}u=\sum_{k=1}^{N} \frac{m}{M+ km}u$$

이어서 $V_0 >V$임을 알 수 있다. 

 

구체적인 계산없이 정성적으로 설명할 수 있는가?

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Posted by helloktk

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  1. hgmhc 2020.11.18 14:48 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    머리로 생각했을 때에는 1번일 것 같다는 느낌이 들었는데, 실제로 수식으로 증명해봐도 1번이 답으로 보입니다.
    맞나요????

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마찰이 없는 바닥에 놓인 경사면(질량: $M$)을 따라 물체(질량: $m$)가 내려온다. 경사면에서 마찰도 없다면 물체가 받는 힘은 중력과 수직항력뿐이다. 이 수직항력의 반작용 때문에 경사면은 밀려나게 된다. 수평방향을 $x$-축, 수직방향을 $y$-축으로 잡고 FBD을 이용해서 물체와 경사면의 운동방정식을 쓰면, 경사면을 내려오는 물체의 가속도는

$$\sum F_x = N \sin \theta \ m\ddot{x}_1 \\ \sum F_y = N \cos \theta -mg = m \ddot{y}_1.$$

경사면은 수평방향 운동만 가능하므로 수평가속도는

$$\sum F_x = - N \sin \theta = M\ddot{x}_2.$$

물체가 경사면에서만 움직이므로 $x_1$, $y_1$, $x_2$가 완전히 독립적일 수 없다:

$$\tan \theta = \frac{y_1}{x_2-x_1} =\text{const}\quad \longrightarrow \ddot{y}_1 = (\ddot{x}_2-\ddot{x}_1) \tan \theta.$$

수직항력 $N$, 물체의 수평/수직 가속도 $\ddot{x}_1$, $\ddot{y}_1$, 그리고 경사면의 수평 가속도 $\ddot{x}_2$에 대한 4개의 식이 주어졌다. 이것을 풀면(연립방정식이므로 쉽다).

$$N = mg \frac{\cos \theta}{1 + \frac{m}{M} \sin ^2 \theta },$$

$$\ddot{x}_1 = g\frac{\sin \theta \cos \theta}{1 + \frac{m}{M} \sin ^2 \theta},$$

$$\ddot{y}_1 = - g \frac{ \Big(1+ \frac{m}{M}\Big) \sin ^2 \theta }{1 + \frac{m}{M} \sin ^2 \theta},$$ $$ \ddot{x}_2  = -g \frac{\frac{m}{M}\sin \theta\cos \theta}{1+\frac{m}{M} \sin ^2 \theta}$$

얻는다. 수평방향이나 수직방향 운동 모두 등가속도이다.

$M \gg m$인 경우를 보면, 경사면이 고정되어 있을 때 수직항력과 같음을 알 수 있다: $N\rightarrow mg\cos \theta$.

어려운 설명을 볼 수 있는 동영상:

youtu.be/xzKPlY4Dnrw

Posted by helloktk

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  1. hgmhc 2020.10.05 13:28 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    "이것들을 풀면"이 원래 어려운게 맞죠..?