Geometry & Recognition

무거운 줄이 도르래에 걸쳐있고, 한쪽 끝에는 사람이 매달려 있다. 사람이 갑자기 줄에 대한 상대속도 $v_{rel}$로 위쪽으로 올라간다. 이때 사람의 지상에 대한 속도는? 줄의 길이는 $L$, 단위길이당 밀도는 $\lambda$, 그리고 사람의 질량은 $M$이다. 

사람이 올라가기 위해서는 줄에 힘(충격량=$J$)을 주어야 하고, 이 힘의 반작용으로 위로 올라간다. 사람이 준 힘 때문에 줄은 아래로 움직이게 된다. 

사람의 운동량 변화(위쪽 =+) $Mv - 0 = J$

줄의 운동량 변화(아래쪽=+) $(\lambda L)u - 0= J$

따라서 $Mv = \lambda L u$이고, $v_{rel} = v - (-u)= v+u$이므로 

$$ v = \frac{\lambda L}{M+ \lambda L} v_{rel}$$

Q2: 사람이 올라가기 시작하면 사람쪽 줄의 무게가 더 크므로 더 빨리 내려가려고 할 것이다. 따라서 일정한 시간이 지나면 지상에서 볼 때 사람은 더 이상 위로 올라가지 못하게 된다. 그때가 언제인가?

이를 해결하기 위해 사람과 줄의 운동방정식을 만들자. 바닥에서 잰 사람의 높이를 $y$(위쪽+), 도르래에서 잰 왼쪽 줄의 끝을 $y_1$(아래+), 오른쪽 줄의 끝을 $y_2$(아래+)라면, $y_1 + y_2 = L=const$이다. 그리고 사람이 줄로 부터 받는 힘을 $f(t)$라면 사람의 운동방정식은 

$$ M y'' (t)= f(t) - Mg$$

그리고 줄의 운동은(아래쪽+, 줄의 총질량 $m=\lambda L$)

$$ m y_1''(t) =\lambda(y_1(t) - y_2(t) ) g + f(t) = 2\lambda g y_1(t) - mg +f(t)$$

상대속도가 일정하므로 $y(t)$와 $y_1(t)$사이의 관계를 만들 수 있다. $$v_{rel} = y' (t)+ y_1'(t) = const \\ \to ~~y_1''(t) = - y''(t) \\ \text{and} ~~ y(t) + y_1(t) =v_{rel} t +C$$

상수 $C$는 줄과 사람이 처음 평형상태였음을 이용하면 $\lambda   y_2(0) g = \lambda y_1 (0) g +Mg$ 에서 

$$ y_1(0) = \frac{m-M}{2\lambda}$$ 또 사람의 출발높이가 $y(0)=0$이므로 

$$ C= y_1(0) = \frac{m-M}{ 2\lambda}$$

이제 앞에서 얻은 방정식을 이용해서 $y(t)$의 운동방정식에서 $f(t)$을 소거하면

$$ \frac{m+M}{2\lambda g} y'' (t)- y(t)  = - v_{rel} t$$

이 방정식의 일반해는 

$$ y (t) = A \cosh (\alpha  t) + B \sinh (\alpha t) + v_{rel} t,~~~~\alpha^2 = \frac{2\lambda g}{m+M} $$

인데, $t=0$일 때 $y(0)=0$이므로 $A=0$이고, $y'(0)= \frac{m}{m+M} v_{rel}$ 였으므로 $B = -\frac{1}{\alpha} \frac{M}{m+M} v_{rel}$. 따라서 사람의 높이는 

$$y(t) = v_{rel} \left( t - \frac{1}{\alpha} \frac{M}{m+M} \sinh (\alpha t)\right) $$

사람이 더 이상 높이 올라갈 수 없는 상태가 되면 속도 $y'(t)=0$이어야 한다. 출발에서 그때까지 걸린 시간은

 $$y'(t) = v_{rel} \left( 1 - \frac{M}{m+M} \cosh (\alpha t) \right)=0 $$

$$ \to~~ t = \sqrt{\frac{m+M}{2\lambda g}} \cosh^{-1} \frac{m+M}{m} $$

표면이 매끄러운 반구가 역시 매끄러운 바닥에 놓여있다. 반구의 꼭대기에 물체를 올려 놓은 후 살짝 충격을 주면 물체는 미끄러지는 운동을 시작한다. 물체가 반구의 표면을 떠나는 각도는? 반구가 고정된 경우는 상대적으로 쉬운 문제다.

풀이: 물체가 받는 힘은 중력과 반구가 작용하는 수직항력이고, 반구는 수평방향의 운동만 하고 수평힘은 수직항력 반작용의 수평성분이다. 수직항력과 중력의 표면수직성분이 물체의 원운동을 일으키는 구심력 역할을 하는데, 구심가속도가 속력의 제곱에 비례하므로 물체의 속력이 클수록 더 작은 각에서 떨어질 것으로 예상할 수 있다. 그런데 반구가 움직이면 처음 물체가 가지고 있던 중력위치에너지의 일부가 반구에도 할당이 되므로 물체의 속력이 상대적으로 더디게 늘어나므로 표면에서 떨어지는 각위치가 커질것으로 예상할 수 있다. 이 문제는 뉴턴 방정식을 풀어서 해결할 수도 있지만, 외력이 중력뿐이고 마찰력이 없으므로 운동량 보존과 에너지 보존을 이용하는 편이 더 쉽다. 

물체의 속도를 $v_x$(오른쪽+), $v_y$(아래+)라 하고, 반구의 수평속도는 $V$(밀리는 방향인 왼쪽+)로 하자. 수평방향 외력이 없으므로 운동량의 수평성분은 보존이 되므로 

$$ mv_x = MV$$

반구와 같이 움직이는 관찰자가 보면 물체가 표면에서 떨어지기 전까지는 표면을 따라 움직이므로 이 관찰자에게 물체의 속도 방향은 접선방향이어야 한다. 이 관찰자가 보면 물체의 속도는 $(v_x + V, v_y)$이므로 반구의 접선방향이 되기 위해서는 $$ \frac{v_y}{v_x + V} =\tan \theta \qquad \to \qquad  v_y = \left( 1+\frac{m}{M}\right) \tan \theta v_x$$

그 다음의 역학적 에너지가 보존되므로 

$$ \frac{1}{2} m (v_x^2 + v_y^2 ) + \frac{1}{2} MV^2 = mgR (1-\cos \theta)$$

이를 이용하면 $v_x, v_y, V$을 $\theta$의 함수로 구할 수 있다.  $\xi = m/M$일 때

$$ v_x^2  = \frac{2gR(1 -\cos \theta)}{ (1+\xi)(1+ (1+\xi) \tan^2 \theta)}$$

언제 물체가 떠나는가? 물체가 반구 위에 있으면 수직항력의 수평성분때문에 속도의 $x$ 성분이 증가하지만, 일단 반구를 떠나면 수평방향 외력이 더 이상 작용하지 않으므로 $v_x$는 일정한 값이 된다. 따라서 $v_x$가 최대가 되는 $\theta$에서 물체는 반구의 표면을 떠나게 된다. $dv_x^2/d\theta =0$을 열심히 계산을 하면

$$ \xi \cos ^3 \theta - 3 (1+\xi) \cos \theta + 2 (1 + \xi)=0$$

의 근을 찾으면 된다.

$$\cos(\theta) = 2\sqrt{\frac{1+\xi}{\xi}} \cos\left[ \frac{1}{3} \cos^{-1}\left(-\sqrt{\frac{\xi}{1+\xi}}\right) -\frac{2\pi}{3}\right]$$

특별한 경우로 $m=M$이면 $\cos \theta = \sqrt{3}-1$로 $\theta \simeq 42.9^\circ$이고, $m \ll M$이면 잘 알려진 $\cos \theta = 2/3$ 즉, $\theta\simeq 48.2^\circ$이다.

그림처럼 내부에서 질량 $m$인 공이 고정되어 있는 차가 처음 지상에 대해 $V$의 속도로 운동을 시작한다. 공이 운동을 시작하여 가장 아래에 내려왔을 때 차와의 상대속도가 $u$였다. 이 순간 지상에 대한 차의 속도는?

[Q] 공과 내부의 곡면 사이에 마찰이 없어야 할까?