고유길이가 $L$인 열차가 $v$의 일정한 속도로 터널에 들어가려고 한다. 터널의 고유길이는 $L/\gamma$다. 지상관찰자가 볼 때 열차의 앞이 터널입구에 도착하는 순간 열차 뒤에서 빛을 발사한다. 그리고 지상관찰자는 열차의 앞이 터널에서 나오는 순간 빛이 열차의 앞에 도달하는 것으로 보였다. 열차의 속도는 얼마일까? 지상관찰자 관점과 열차승객의 관점에서 각각 설명을 하면?
풀이: 지상관찰자: 지상관찰자에게는 열차의 길이가 $L/\gamma$로 보인다. 열차의 앞이 터널을 통과하는 데 걸리는 시간은 $$\Delta t_1 = \frac{L/\gamma}{v}=\frac{L}{\gamma v}$$ 이 과정에서 빛이 움직이는 거리는 $\text{(열차길이)}+\text{(터널길이)}= L/\gamma+L/\gamma= 2L/\gamma$이고, 열차 안에서 발사된 빛의 속도는 지상관찰자에게도 여전히 $c$이므로 빛이 열차 앞에 도달하는 데 걸리는 시간은 $$\Delta t_2 = \frac{2L/\gamma}{c} =\frac{2L}{\gamma c} $$ 따라서 $$\Delta t_1= \Delta t_2~~~\to~~~ v=c/2$$열차승객: 터널의 길이는 길이수축때문에 $(L/\gamma)/\gamma=L/\gamma^2$로 보인다. 지상관찰자에게는 앞이 터널입구에 들어가는 것과 빛의 발사가 동시에 일어나지만, 열차승객에게는 열차가 터널입구에 도착한 후 $\Delta t = Lv/c^2$만큼 후에 뒤쪽에서 빛이 발사된다 (열차승객이 볼 때 빛이 발사된 시점에 열차 앞은 이미 터널 내부에 있게 된다. 물론 열차 앞이 터널에서 나오는 순간 빛은 열차 앞에 도달한다. 같은 지점에서 동시에 일어난 두 사건은 어느 관성계에서도 동시에 일어난다). 열차 앞이 터널을 통과하는 데 걸리는 시간은 $$\Delta t'_1 = \frac{L/\gamma^2}{v} = \frac{L}{\gamma ^2 v}$$ 빛은 열차 앞이 터널 입구에 도달한 시간보다 $Lv/c^2$만큼 지연된 후 발사되므로 $\Delta t'_1$은 $$\Delta t'_2 = \text{(빛이 발사되기까지 지연된 시간)}+\text{(빛이 뒤에서 앞까지 가는 데 걸리는 시간)}$$$$=\frac{Lv}{c^2} + \frac{L}{c}$$와 같아야 한다. 따라서 $$\Delta t'_1 = \Delta t'_2 ~~~\to~~~v=c/2$$
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