Geometry & Recognition

물에 떠있는 얼음을 줄로 연결한 후 팽팽해질 때까지 당겨서 물그릇 바닥에 고정했다. 얼음이 다 녹았을 때 물그릇의 수위는 어떻게 변하는가?

1. 올라간다.
2. 내려간다.
3. 변하지 않는다.
4. 정보가 부족하다.

바닥에서 구르는 원판이 그림과 같이 경사각 $\theta$인 경사면에 올라선다. 바닥과 경사면의 기하학적 구조 때문에 원판은 경사면과 충돌을 하게 되므로 질량중심이 움직이는 속도가 변하게 되고, 또 미끄러짐이 없이 경사면을 오르기 위해서는 회전각속도도 순간적으로 변해야 한다. 즉, 에너지 손실이 생기게 된다(이를 방지하기 위해서는 바닥과 경사면이 연결되는 부분을 충분히 smooth한 곡선모양으로 만들어주어야 한다) 얼마의 에너지 손실이 생길까?

풀이: 원판은 경사면의 접촉점(두 번째 그림의 붉은 점)에서 impulsive 수직항력과 마찰력(경사면 위쪽 방향)을 받게 되므로 운동량 보존법칙을 쓸 수 없다. 그러나 이 두 impulsive force가 경사면 접촉점에 대한 토크를 만들지 않으므로 그 점에 대한 원판의 각운동량은 보존이 된다. 
$$L_i = I \omega_i + mRv \cos \theta = \frac{1}{2} mRv ( 1 + 2\cos \theta) $$ $$L_f = I \omega_f + m R v_f = \frac{3}{2} mR v_f     $$ 이므로 $L_f=L_i$에서 경사면을 오르기 시작하는 속도는
$$ v_f = \frac{1+ 2 \cos \theta}{3}v$$ 따라서 이 과정에서 에너지 손실은 접촉점에 대한 회전관성은 어느 지점에서나 동일하므로
$$ \eta = \frac{K_i - K_f }{K_i } = 1 - \frac{\omega _f^2}{\omega ^2}= \frac{8-4\cos \theta - 4 \cos^2 \theta}{9}$$

Hoop에 꿰어진 질량 $m$인 작은 구슬이 마찰 없이 운동을 할 수 있다. 이 hoop을 수직축에 대해서 각속도 $\omega$로 일정하게 회전을 시킬 때 구슬의 운동방정식을 분석하자.

풀이: Euler-Lagrange 방정식을 이용하는 것이 편하지만 뉴턴의 운동방정식을 이용해서도 구할 수 있다. hoop와 같이 회전하는 계에서 보면 구슬은 hoop를 따라 가속 원운동을 한다. 접선 방향으로 작용하는 힘은 중력의 접선성분 $mg \sin \theta~(\theta \text {-감소방향})$와 관성력인 원심력의 접선성분 $mR \sin \theta \omega^2 \cos \theta~(\theta \text {-증가방향})$을 받는다. 따라서 접선방향의 운동방정식은 

$$ mR \ddot\theta = - mg \sin \theta + mR \sin \theta \omega^2 \cos \theta$$

이 방정식은 $\theta(t) = const$인 해를 가질 수 있는데 위 방정식에서 $\ddot\theta=0$으로 놓으면

$$ \sin \theta ( -g + R\omega^2 \cos \theta) = 0$$에서 $$\theta = 0, ~\pi ,~~\text{and}~~\cos \theta_0 =\frac{g}{ R \omega^2 }$$

마지막 평형위치는  $\omega> \sqrt{g/R}= \omega_c$보다 큰 경우에서 만들어지고, 이 위치에서는 수직항력과 중력의 합력이 구슬의 구심력과 같게 된다.

먼저 $\theta = \pi$는 구슬이 고리의 맨 꼭대기에 올라가 경우이고 평형점에서 살짝 벗어났을 때 구슬의 운동을 알아보기 위해 $\theta(t) = \pi - x(t)~~(|x(t)| \ll 1)$로 놓으면

$$ \ddot x = (\omega_c^2 + \omega^2 ) x $$이므로 $\theta =\pi$는 $\omega$에 무관하게 불안정 평형점이 된다. 그리고 $\theta = 0$인 평형위치는 구슬이 고리의 맨 아래에 놓인 경우로, 이 위치의 안정성을 분석하기 위해 $\theta = x, ~|x| \ll 1$로 놓으면

$$ \ddot x = - ( \omega^2 - \omega_c^2 ) x$$

이므로 $ \omega < \omega_c$일 때는 안정평형점이고 진동의 주기는 

$$  T  /T_c = \frac{1}{\sqrt{1- (\omega / \omega_c)^2 }} $$으로 주어진다. 반대로 $\omega > \omega_c$이면 $\theta  = 0$은 불안정평형 위치가 된다. 마지막으로 $\theta_0 = \arccos (\omega_c/\omega)^2$로 주어지는 평형위치의 안정성은 

$\theta = \theta_0 + x,~|x|\ll 1$로 놓으면

$$ \ddot x = - \frac{\omega^4  - \omega_c^4}{\omega^2}x$$로 주어지므로 안정평형점임을 알 수 있고($\omega > \omega_c$ 만 의미있음) 진동의 주기는

$$ T /T_c= \frac{  \omega/\omega_c }{\sqrt{(\omega/\omega_c)^4 -1}}$$으로 주어진다.