지구의 한 지점에서 다른 지점을 연결하는 지구 속을 관통하는 터널(물론 마찰이나 저항이 없는 경우)을 만들면 동력이 없이 두 지점을 이동할 수 있다. 그리고 그 시간은 터널의 길이에 상관없이 대략 42.24분 정도이다. 그러면 터널의 모양이 직선이 아닌 경우에는 이 시간이 변하게 될 것이다. 그럼 두 지점을 최단시간에 이동할 수 있게 만들려면 터널의 모양을 어떻게 설계해야 하는가? 역학적에너지가 보존된다는 사실을 이용해서 터널의 모양을 구해보자. 지표면에서 중력위치에너지를 0으로 설정하면 중심에서 $r\le R$만큼 떨어진 지점에서 위치에너지는
$$V(r) = - \frac{GMm}{2R^3} ( R^2 - r^2), \qquad V(R) = 0$$
로 표현된다. 출발할 때 ($r=R$)에서 정지상태에서 움직이기 시작했다면 반지름 $r$ 위치에서 속력은
$$ v(r) = \sqrt{ \frac{GM}{R}\left( 1- \frac{r^2}{R^2}\right)}= \sqrt{ gR \left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)}$$
이제 계산의 편의를 위해 모든 변수를 차원이 없도록 바꾸자. $\tau= t/\sqrt{R/g}$, $\rho = r/R$, $u = v/\sqrt{gR}$로 치환하고, 물체가 지표면에서 지구중심에 가장 가까워지는 지점까지($r\to r_\text{min}$) 경로만 고려하자.
$$ u = \sqrt{1- \rho^2}, ~~~\rho \in [r_\text{min}/R , 1]$$
물체가 지구중심에 가장 가까웠을 때 위치와 중심을 연결하는 선분을 기준으로 잰 각을 $\theta$라 하면, 물체가 움직이는 경로상의 미소길이는
$$ d\ell = \sqrt{ d\rho^2 + \rho^2 d\theta^2} = \sqrt{ 1 + \rho^2 \dot{\theta}^2 } d\rho$$
찾는 경로가 최소시간이 걸리는 경로이므로 시간을 $\theta(\rho)$의 범함수로 놓고 변분법을 이용해서 곡선이 만족하는 방정식을 구하자.
$$ T[\theta;\rho] = \int d\tau = \int \frac{d\ell}{u} = \int \frac{\sqrt{1+ \rho^2 \dot{\theta}^2} }{\sqrt{1- \rho^2} } d\rho$$
적분인자가 $\theta$에 무관하므로 Euler-Lagrange 운동방정식에서
$$ \frac{\rho^2 \dot{\theta}}{ \sqrt{1-\rho^2} \sqrt{1 + \rho^2 \dot{\theta}^2}}= \text{const}=C$$
그런데 중심에 가장 가까워지면 $d\theta/d\rho = (d\rho/d\theta)^{-1}\to \infty$이므로 상수 $C$는 지구중심에서 가장 가까워지는 거리 $\rho_0 = r_\text{min}/R$로 고정된다.
$$ \rho_0 ^2 = \frac{C^2}{1+C^2} $$
이어야 한다. 이를 이용하면
$$ \dot\theta = \frac{\rho_0}{\rho} \frac{\sqrt{1- \rho^2}}{\sqrt{\rho^2- \rho_0^2}}$$
적분을 완성하기 위해 다시 새로운 변수
$$x = \sqrt{ \frac{\rho^2 - \rho_0^2}{1-\rho^2}}~~~\leftrightarrow ~~~\rho = \sqrt{\frac{x^2 +\rho_0^2}{1+x^2}}$$
을 이용하면
\begin{align} {\theta} &= \rho_0 \int \frac{dx}{x^2 + \rho_0^2} - \rho_0\int \frac{dx}{1+x^2} \\ &= \tan^{-1} \frac{x}{\rho_0} - \rho_0 \tan^{-1} x \end{align}
즉, \begin{align} \theta= \tan^{-1} \left( \frac{1}{\rho_0 }\sqrt{\frac{\rho^2- \rho_0^2}{1-\rho^2}}\right) - \rho_0 \tan^{-1} \sqrt{\frac{\rho^2-\rho_0^2}{1- \rho^2}}\end{align}
예상대로
$$ \rho=\rho_0~(r=r_\text{min})~~~~\to~~\theta = 0$$
$$ \rho=1 ~~(r=R)~~~~\to~~\theta = \frac{\pi}{2}\left( 1- \frac{r_\text{min}}{R}\right) $$
중심에서 잰 지표면 두 지점의 사이각은
$$\Delta \theta = \left( 1- \frac{r_\text{min}}{R}\right) \pi$$
이므로 이 값이 주어지면 곡선은 유일하게 결정된다. 이 곡선은 hypocycloid로 지표면에 내접하도록 바퀴를 굴렸을 때 바퀴의 한 지점이 그리는 곡선의 모양과 같다.
그럼 시간은 얼마나 걸리는가? 지표면에서 중심에 가장 가까운 위치까지 가는데 걸리는 시간을 다시 $\rho$의 적분으로 쓰면
$$ T = \int_{\rho_0}^1 \frac{\rho \sqrt{1- \rho_0^2} d\rho} {\sqrt{1- \rho^2}\sqrt{\rho^2 - \rho_0^2}} = \frac{\pi}{2} \sqrt{1- \rho_0^2 }$$이동에 걸리는 시간은 이 값의 2배이고 원래의 시간차원으로 복원시키면
$$ T_\text{travel} = 2\times \frac{\pi}{2} \sqrt{1- \rho_0^2} \times \sqrt{ \frac{R}{g}} = \sqrt{ 1- \left( 1-\frac{\Delta\theta}{\pi}\right)^2 } \times 42.24 \text{min}$$
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