Geometry & Recognition

그림과 같이 마찰이 없는 평면에 같은 질량의 3 물체 A, B, C가 줄로 연결되어 있다. B와 C를 연결하는 줄의 길이는 $L$인데, 처음 A와 B를 연결한 줄 아래로 $3L/5$만큼 떨어진 위치에서 C가 $v_0$로 운동을 시작한다. B와 C를 연결하는 줄의 길이가 팽팽해진 직후 각 물체의 속도를 구하라. 단, A와 B를 연결하는 줄은 처음부터 느슨하지 않게 연결되어 있다.

힌트: 1. B와 C의 줄이 팽팽해진 직후 A와 B를 연결하는 줄이 늘어나지 않으므로 두 물체의 줄방향(수평방향) 속도성분은 같고($v_x$),

2. B는 C와 연결된 줄 때문에 줄에 수직방향(아래방향, $v_y$) 성분을 가진다. 그리고

3. C는 줄이 팽팽해진 직후 줄방향 성분($v_\parallel$)은 변하지만, 줄에 수직성분은 변하지 않는다. 그런데 줄에 수직성분은 $v_\perp = v_0 \sin \theta =\frac{3}{5}v_0$로 정해진다.

4. B와 C의 줄방향 성분이 같아야 한다.

$$ v_\parallel = v_x \cos \theta + v_y \sin \theta~~~\to ~~~5v_\parallel = 4v_x + 3 v_y$$

5. 외력이 없기 때문에 수평/수직 방향 운동량이 보존되어야 한다.

$$\text{수평방향:}~~ mv_0= m v_x + m v_x +  m( v_\perp \sin \theta+ v_\parallel \cos \theta) ~~~\to~~~ 16v_0 =  50 v_x + 20 v_\parallel$$

$$ \text{수직방향:}~~ 0 = mv_y + m(v_\parallel \sin \theta - v_\perp \cos \theta)~~~\to~~~25 v_y + 15v_\parallel - 12v_0=0$$

세 개의 미지수 $v_x$, $v_y$, $v_\parallel$에 3 개의 방정식이 있으므로 이를 풀면

$$ v_\parallel = \frac{34}{105} v_0, ~~~ v_x = \frac{4}{21} v_0,~~~ v_y = \frac{2}{7} v_0$$를 얻는다.

반지름 $R$인 원형트랙을 돌기 위해서 정지상태에서 출발하는 오토바이가 있다. 원형트랙을 미끄러지지 않고 돌 수 있는 최대속력에 도달하기 위해서는 최소한 얼마나 움직여야 하는가? 오토바이와 트랙과의 정지마찰계수는 $\mu$이다.

힌트: 오토바이가 받을 수 있는 최대힘은 트랙과의 정지마찰력이다. 따라서 가능한 최대가속도는 $a=\mu g$이다. 그런데 오토바이는 일정한 속력에 도달하기 전에는 원형트랙을 돌기 때문에 생기는 구심가속도($a_c = v^2/R$) 이외에도 속력을 증가시키기 위해서 접선가속도($a_t = dv/dt$)도 필요하다. 출발시점에서는 접선가속도만 있고 최대속력에 도달하면 구심가속도만 있게 된다. 따라서 최대속력은 $\mu g = v_\text{max}^2/R$로 구해진다. 접선방향과 가속도 벡터의 사이각을 $\phi$라면 처음에서는 접선가속도 성분만 있으므로 $\phi=0$이고, 최대속력에 도달하면 구심가속도 성분만 있으므로 $\phi=\frac {\pi}{2}$가 된다.

$$ a_t = \frac {dv}{dt} = \mu g  \cos \phi ,~~~a_c = \frac {v^2}{R} = \mu g \sin \phi$$두 번째 식을 미분하면 $$\mu g \cos \phi \frac {d\phi}{dt} = \frac {2v}{R} \frac {dv}{dt}$$이므로 $$ \frac {d\phi}{dt} = \frac {2v}{R} = 2 \omega = 2 \frac {d\theta}{dt}$$여기서 $\omega$는 각속도이고, $\theta$는 회전각이다. 이 식을 출발에서 최대속력에 도달할 시간까지 적분하면$$\Delta \phi = 2\Delta \theta~~~\to ~~~\Delta \theta = \frac {\Delta \phi}{2}= \frac {\pi}{2}$$이므로 출발에서 최대속력에 이르는 동안 움직여야 할 호의 최소길이는 $$\Delta s = R \Delta \theta =\frac {\pi R}{4}$$ 

그림과 같이 마찰이 없는 평면에 생긴 구멍을 통해 두 물체 A($m$), B($M$)가 줄로 연결되어 있고 A가 반지름 $r$인 원을 일정한 각속도 $\omega_0$로 회전을 한다. 이제 물체 B을 살짝 아래로 당겼다가 놓으면 위-아래로 진동을 하게 된다. 이 진동의 주기를 구하라.

힌트: 반지름 $r_0$인 원운동할 때는 장력이 A의 구심력 역할을 한다. 따라서

$$ \text{평형상태:}~~~Mg= T _0= m \omega_0^2 r_0$$

반지름이 $\Delta r$(평형위치에서 B의 변위 증가분으로 $d^2\Delta r/dt^2 = a$) 만큼 줄어들었을 때 B의 가속도를 $a$라면 B의 운동방정식은 

$$ Mg -  T = Ma$$이고 A는 각속도가 변하는데 이 과정에서 각운동량이 보존되므로 변하는 각속도를 구할 수 있다.

$$ m r^2 \omega = m (r_0 -\Delta r) ^2 \omega ~~~\to~~~\omega = \frac {\omega_0 }{(1- \Delta r/r_0)^2 }$$

그리고 A가 중심방향의 가속도 $a_A = a + \omega  ^2 (r-\Delta r) $를 가지므로 운동방정식은

$$ T   =  m \left(  a + \omega ^2 r_0(1- \Delta r/r_0) \right) $$

$$ = m \left( a + \omega_0^2 \frac{r_0  }{(1- \Delta r/r_0)^3} \right) \approx m \left( a  + \omega_0^2r_0 + 3\omega_0^2 \Delta r\right)  $$여기서 $|\Delta r |\ll r_0$임을 사용했다. $T=M(g-a)$이므로

$$ (M+m)a = - 3m \omega_0^2 \Delta r$$이므로 가속도가 변위의 음수에 비례함을 얻을 수 있고, 이는 단순조화운동임을 의미한다. 그리고 이 단순조화진동의 각진동수는

$$ \omega = \omega_0 \sqrt {\frac {3m }{m+M}}$$

다른 방법으로는 https://kipl.tistory.com/760에서의 결과를 이용해도 된다.