Geometry & Recognition

천문학자 Brahe의 정교한 행성관측에 기반해서 Kepler는 태양계에서 행성의 궤도운동에 관한 3가지 법칙을 유추해 냈다. 이후 뉴턴은 만유인력 법칙과 뉴턴의 제 2법칙을 이용해서 만든 미분방정식을 직접적으로 풀어서 확인할 수 Kepler의 법칙을 확인할 수 있었다. 여기서는 미분방정식을 이용하는 접근보다는 행성운동에서 시간이 흘러도 변하지 않고 일정한 값을 가지는 보존량을 찾고 이를 이용해서 행성이 타원궤도를 따라 운동을 함을 보이자.

태양을 원점으로 하여 행성의 위치벡터를 $\vec r$라 두고, 그 크기를 $r = |\vec r|$라 하자. 이때 $\vec r$의 방향을 나타내는 단위벡터를
\begin{equation}
\vec u \equiv \frac{\vec r}{r}
\end{equation}로 정의하면,
\begin{equation}
\vec r = r \vec u
\end{equation}로 쓸 수 있다. 이를 시간에 대해 미분하면 행성의 속도벡터는
\begin{equation}
\vec v = \dot{\vec r}
= \dot r\,\vec u + r\,\dot{\vec u}
\end{equation} 가 된다. 행성은 태양의 중력에 의해 운동하므로, 뉴턴의 제2법칙에 따라 가속도는
\begin{equation}
\vec a = -\frac{k}{r^2}\vec u, \qquad
k \equiv G M_{\text{sun}}
\end{equation}로 주어진다. 가속도가 항상 위치벡터 $\vec r$와 평행하므로, 단위질량당 각운동량 벡터
\begin{equation}
\vec \ell \equiv \vec r \times \vec v
\end{equation}는 보존된다. 실제로 양변을 시간에 대해 미분하면
\begin{equation}
\frac{d\vec\ell}{dt}
= \vec v \times \vec v + \vec r \times \vec a
= \vec r \times \vec a
= 0
\end{equation} 임을 확인할 수 있다. 이제 $\vec\ell$을 보다 구체적으로 계산하면,
\begin{align}
\vec\ell
&= (r\vec u)\times(\dot r\,\vec u + r\,\dot{\vec u}) \\
&= r^2\,\vec u \times \dot{\vec u}
\end{align}
를 얻는다. 한편 $\vec u\cdot\vec u = 1$을 미분하면
\begin{equation}
\vec u\cdot\dot{\vec u} = 0
\end{equation}이므로 $\dot{\vec u}$는 항상 $\vec u$에 수직이다. 이 결과를 이용하여 $\vec a \times \vec\ell$을 계산하면,
\begin{align}
\vec a \times \vec\ell
&= -\frac{k}{r^2}\,\vec u \times (r^2\,\vec u \times \dot{\vec u}) \\
&= k\,\dot{\vec u}
\end{align} 가 된다. 또한 $\vec\ell$이 상수벡터이므로
\begin{equation}
\vec a \times \vec\ell
= \frac{d}{dt}(\vec v \times \vec\ell)
\end{equation}로 쓸 수 있으므로 다음과 같은 벡터 방정식을 얻는다.
\begin{equation}
\frac{d}{dt}\bigl(\vec v \times \vec\ell - k\,\vec u\bigr) = 0,
\end{equation} 따라서 \begin{equation}
\vec{d} \equiv \vec v \times \vec\ell - k\,\vec u 
\end{equation}로 놓으면, $\vec d$는 상수벡터이다. $\vec d$는 Laplace-Runge-Lenz 벡터로 불리우면 힘이 거리의 제곱에 반비례하는 중심력의 형태일 때 각운동량, 역학적 에너지 이외에 추가적으로 보존이 되는 물리량이다. 각운동량 $\vec\ell$은 궤도 평면에 수직이므로, $\vec v \times \vec\ell$은 궤도 평면 내에 놓인다. 따라서 $\vec{d}$도 궤도 평면에 있는 벡터가 된다. 좌표계를 적절히 선택하여 궤도 평면을 $xy$-평면으로, $\vec d$를 $x$축 방향으로 두자.
\begin{equation}
\vec d = (d,0,0)
\end{equation}극좌표계에서
\begin{equation}
\vec r = (x,y,0) = (r\cos\theta, r\sin\theta, 0), \qquad \vec{u}=(\cos \theta , \sin \theta, 0)
\end{equation} 로 두면, $\ell^2$는 
\begin{align}
\ell^2
&= \vec\ell\cdot\vec\ell \\
&= (\vec r\times\vec v)\cdot\vec\ell \\
&= \vec r\cdot(\vec v\times\vec\ell) \\
&= r\,\vec u\cdot(k\,\vec u + \vec d) \\
&= k r + r d \cos\theta
\end{align}를 얻는다. 이를 $r$에 대해 정리하면 행성의 궤도 방정식은
\begin{equation}
r  = \frac{\ell^2/k}{1 + (d/k)\cos\theta}
\end{equation}로 주어지며, 이는 태양을 초점으로 하는 원뿔곡선의 극좌표 방정식이다. 기하학적으로 $e\equiv d/k$는 이심률을, $\ell^2/k$는 초점에서 준선까지 거리를 의미한다. 특히 $d/k < 1$인 경우, 행성의 궤도는 타원이 됨을 알 수 있다. 근일점 $\theta=0$인 방향이 $\vec d$의 방향이므로 Laplace-Runge-Lenz 벡터는 행성궤도가 평면에서 놓여있다는 것을 알려줄 뿐만 아니라 궤도의 방향까지도 알려준다.

$\vec{d}$의 제곱을 계산하면 단위질량당 행성의 에너지 $\varepsilon$가 다음을 만족함을 보일 수 있다.

\begin{align} d^2 &= (\vec{v} \times \vec{\ell})^2 - 2 k \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{\ell}) + k^2 \\ &=2 \left( \frac{1}{2} v^2 - \frac{k}{r} \right) \ell^2 + k^2 & \\ & = {2\varepsilon} \ell^2  + k^2 \end{align} 따라서 이심률 $e=d/k$가 $0$과 $1$ 사이의 값을 가지면 행성의 에너지가 음의 값을 가져 그 궤도는 타원이 되고, $e=0$이면 포물선 궤도를, 그리고 $e > 1$면 쌍곡선 궤도를 그리게 된다.

$\vec{d}$의 방향이 타원궤도의 근일점을 방향을 의미한다고 했고 궤도방정식을 보면 $d/k$가 이심률을 나타냄을 보았다. $d/k$의 기하학적 의미를 운동방정식과 각운동량 보존을 이용해서 직접적으로 보이도록 하자. 새로운 벡터 $\vec{s}$을 다음과 같이 정의하자.

$$ \vec{s}\equiv \vec{d} \times \frac{\vec{\ell}}{\ell} = - \ell \vec{v} + k  \frac{\vec{\ell}}{\ell} \times  \vec{u}$$이를 미분하면

$$ \dot{\vec{s}} = -\ell \vec{a} + k \frac{\vec{\ell}}{\ell}   \times \dot{\vec{u}}= -\ell \vec{a} +\frac{k}{\ell}     \vec{\ell} \times \frac{ \vec{a}\times \vec{\ell}}{k} = 0 $$

이어서 상수벡터임을 확인할 수 있다. 이 상수벡터를 근일점($\vec{r}_1$)과 원일점($\vec{r}_2$)에서 값을 구하면

$$ \vec{s} = -\ell  \vec{v}_1 + k \frac{\vec \ell}{\ell} \times \vec{u}_1 = - \ell \vec{v}_2 + k \frac{\vec\ell}{\ell} \times \vec{u}_2$$근일점과 원일점에서 $\vec{\ell}\times \vec{u}$는 $\vec{v}$와 같은 방향이고, 속도 방향은 서로 반대이므로 윗 식에서 크기는 

$$ -\ell v_1 + k = -(-\ell v_2 +k )~~\to ~~ \frac{2k}{\ell}= v_1 + v_2 = \frac{\ell}{r_1} + \frac{ \ell}{r_2} = \frac{r_1 +   r_2 }{ r_1  r_2} \ell $$이므로 $$ \ell^2 = 2k \frac{ r_1 r_2}{r_1+r_2}$$ 이 결과를 근일점이나 원일점에서 계산한 $\vec{d}$에 대입하면 $$ d = k - \frac{\ell^2}{r_2} = k \frac{r_2 - r_1}{r_1 + r_2 } $$이어서 $d/k$가 이심률임이 명확하게 보인다.

물에 떠있는 얼음을 줄로 연결한 후 팽팽해질 때까지 당겨서 물그릇 바닥에 고정했다. 얼음이 다 녹았을 때 물그릇의 수위는 어떻게 변하는가?

1. 올라간다.
2. 내려간다.
3. 변하지 않는다.
4. 정보가 부족하다.

바닥에서 구르는 원판이 그림과 같이 경사각 $\theta$인 경사면에 올라선다. 바닥과 경사면의 기하학적 구조 때문에 원판은 경사면과 충돌을 하게 되므로 질량중심이 움직이는 속도가 변하게 되고, 또 미끄러짐이 없이 경사면을 오르기 위해서는 회전각속도도 순간적으로 변해야 한다. 즉, 에너지 손실이 생기게 된다(이를 방지하기 위해서는 바닥과 경사면이 연결되는 부분을 충분히 smooth한 곡선모양으로 만들어주어야 한다) 얼마의 에너지 손실이 생길까?

풀이: 원판은 경사면의 접촉점(두 번째 그림의 붉은 점)에서 impulsive 수직항력과 마찰력(경사면 위쪽 방향)을 받게 되므로 운동량 보존법칙을 쓸 수 없다. 그러나 이 두 impulsive force가 경사면 접촉점에 대한 토크를 만들지 않으므로 그 점에 대한 원판의 각운동량은 보존이 된다. 
$$L_i = I \omega_i + mRv \cos \theta = \frac{1}{2} mRv ( 1 + 2\cos \theta) $$ $$L_f = I \omega_f + m R v_f = \frac{3}{2} mR v_f     $$ 이므로 $L_f=L_i$에서 경사면을 오르기 시작하는 속도는
$$ v_f = \frac{1+ 2 \cos \theta}{3}v$$ 따라서 이 과정에서 에너지 손실은 접촉점에 대한 회전관성은 어느 지점에서나 동일하므로
$$ \eta = \frac{K_i - K_f }{K_i } = 1 - \frac{\omega _f^2}{\omega ^2}= \frac{8-4\cos \theta - 4 \cos^2 \theta}{9}$$