광원이 후퇴하면서 내는 빛은 관찰자에게는 파장이 길어진 것으로 관찰되고(적색편이), 광원이 접근하면서 내는 빛은 파장이 짧아 보인다(청색편이). 광자의 에너지는 파장에 반비례하므로 도플러 효과는 광자의 에너지가 변했음을 의미한다. 그럼 도플러 효과에서는 에너지가 보존이 안되는 것일까? 아니면 차이나는 에너지는 어떻게 설명할 수 있는가?
눈은 작지만 유한한 크기를 가지고 있으므로 물체의 한 점에서는 나오는 여러 광선을 받아들인다. 눈에 들어오는 광선들의 연장선이 만나는 지점에 물체의 겉보기 위치가 된다. 그리고 같이 광선 1과 2의 경로를 분석해보자. 눈이 작으므로 두 광선은 매우 가까이 있다( $\delta\ll 1$: 그림은 과장되게 그려진 것이다). 광선 1에 Snell의 법칙을 적용하면
$$ n \sin\theta_i = \sin \theta_r$$
이다. 이보다 조금 다른 각도 $(\theta_r + d\theta_r)$ 로 들어오는 광선 2에 대해서도 Snell의 법칙을 적용한 후 $((n \sin (\theta_i + d\theta_i) = \sin(\theta_r +d\theta_r) )$ 광선 1과의 차이를 구하면
$$ n \cos\theta_i d\theta_i =\cos \theta_r d \theta_r \quad \rightarrow \quad \frac{d\theta_i}{d\theta_r} = \frac{\cos\theta_r}{n\cos \theta_i}$$
그림에서 광선 1의 실제 경로에 대해서 물체의 수평 거리$(x)$와 깊이$(y)$의 관계는 $x=y\tan \theta_i$, 광선 2에 대해서는 $x+\delta = y \tan(\theta_i + d\theta_i)$이므로 둘의 차이를 계산하면
$$ \delta = y \sec^2 \theta_i d \theta_i$$
마찬가지로 광선1 과 2의 겉보기 경로에 대해 겉보기 수평 거리$(x_a)$와 깊이$(y_a)$의 관계를 정리하면
지름이 $1~\text{mm}$인 구멍에서 나오는 녹색 레이저 포인터(파장: $\lambda = 532 ~\text{nm}$)를 달(지구-달 거리: $384000 ~\text{km}$, 반지름: $1734~\text{km}$)을 향해 쏠 때, 달에 생기는 레이저 반점의 지름은 얼마쯤 될까?
1. 1 m
2. 100 m
3. 1 km
4. 500 km
5. 달보다 크다.
그럼 레이저의 빛 지름이 $1~\text{m}$일 때, 달에 생기는 반점의 크기는 더 커질까 아니면 줄어들까?