Apparent depth

깊이가 $h$ 인 수영장 바닥에 있는 물체를 물 밖에서 바라볼 때 얼마의 깊이에 있는 것으로 보일까? 단, 바라보는 각도는 수직에 대해서 $\theta$ 이고, 물의 굴절률은 $n$ 이다. 참고: 그림은 물체의 위가 겉보기 위치인 것처럼 그려졌으나 항상 그런 것은 아니다.

1. $\frac{h}{n}(\frac{{\cos }^2\theta }{1-{\sin }^2\theta /n^2}{)}^{3/2}$ 

2. $\frac{h}{n}$

3. $\frac{h\cos \theta }{n}$

 

 

눈은 작지만 유한한 크기를 가지고 있으므로 물체의 한 점에서는 나오는 여러 광선을 받아들인다. 눈에 들어오는 광선들의 연장선이 만나는 지점에 물체의 겉보기 위치가 된다. 그리고 같이 광선 1과 2의 경로를 분석해보자. 눈이 작으므로 두 광선은 매우 가까이 있다( $\delta \ll 1$: 그림은 과장되게 그려진 것이다). 광선 1에 Snell의 법칙을 적용하면

$$n\sin {\theta }_i=\sin {\theta }_r$$

이다. 이보다 조금 다른 각도 $({\theta }_r+d{\theta }_r)$ 로 들어오는 광선 2에 대해서도 Snell의 법칙을 적용한 후 $((n\sin ({\theta }_i+d{\theta }_i)=\sin ({\theta }_r+d{\theta }_r))$ 광선 1과의 차이를 구하면

$$n\cos {\theta }_{i}d{\theta }_i=\cos {\theta }_{r}d{\theta }_r\to \frac{d{\theta }_i}{d{\theta }_r}=\frac{\cos {\theta }_r}{n\cos {\theta }_i}$$

그림에서 광선 1의 실제 경로에 대해서 물체의 수평 거리$(x)$와 깊이$(y)$의 관계는  $x=y\tan {\theta }_i$, 광선 2에 대해서는 $x+\delta =y\tan ({\theta }_i+d{\theta }_i)$이므로 둘의 차이를 계산하면

$$\delta =y{\sec }^2{\theta }_{i}d{\theta }_i$$

마찬가지로 광선1 과 2의 겉보기 경로에 대해 겉보기 수평 거리$(x_a)$와 깊이$(y_a)$의 관계를 정리하면

$$\delta =y_a{\sec }^2{\theta }_{r}d{\theta }_r$$

이므로

$$\frac{d{\theta }_i}{d{\theta }_r}=\frac{y_a{\cos }^2{\theta }_i}{y{\cos }^2{\theta }_r}$$

두 결과를 종합하면

$$y_a=\frac{y}{n}{\left(\frac{\cos {\theta }_r}{\cos {\theta }_i}\right)}^3=\frac{y}{n}{\left(\frac{{\cos }^2{\theta }_r}{1-{\sin }^2{\theta }_r/n^2}\right)}^{3/2}$$