Apparent depth

깊이가 $h$인 수영장 바닥에 있는 물체를 물 밖에서 바라볼 때 얼마의 깊이에 있는 것으로 보일까? 단, 바라보는 각도는 수직에 대해서 $\theta$이고, 물의 굴절률은 $n$이다. 참고: 그림은 물체의 위가 겉보기 위치인 것처럼 그려졌으나 항상 그런 것은 아니다.

1. $\frac{h}{n} \Big(  \frac{\cos^2 \theta}{1-{\sin^2 \theta}/{n^2} } \Big)^{3/2}$ 

2. $\frac{h}{n}$

3. $\frac{h\cos\theta}{n}$

 

 

눈은 작지만 유한한 크기를 가지고 있으므로 물체의 한 점에서는 나오는 여러 광선을 받아들인다. 눈에 들어오는 광선들의 연장선이 만나는 지점에 물체의 겉보기 위치가 된다. 그리고 같이 광선 1과 2의 경로를 분석해보자. 눈이 작으므로 두 광선은 매우 가까이 있다( $\delta\ll 1$: 그림은 과장되게 그려진 것이다). 광선 1에 Snell의 법칙을 적용하면

$$ n \sin\theta_i = \sin \theta_r$$

이다. 이보다 조금 다른 각도 $(\theta_r + d\theta_r)$ 로 들어오는 광선 2에 대해서도 Snell의 법칙을 적용한 후 $((n \sin (\theta_i + d\theta_i)  = \sin(\theta_r +d\theta_r) )$ 광선 1과의 차이를 구하면

$$ n \cos\theta_i d\theta_i  =\cos \theta_r d \theta_r  \quad \rightarrow \quad \frac{d\theta_i}{d\theta_r} = \frac{\cos\theta_r}{n\cos \theta_i}$$

그림에서 광선 1의 실제 경로에 대해서 물체의 수평 거리$(x)$와 깊이$(y)$의 관계는  $x=y\tan \theta_i$, 광선 2에 대해서는 $x+\delta = y \tan(\theta_i + d\theta_i)$이므로 둘의 차이를 계산하면

$$ \delta = y \sec^2 \theta_i d \theta_i$$

마찬가지로 광선1 과 2의 겉보기 경로에 대해 겉보기 수평 거리$(x_a)$와 깊이$(y_a)$의 관계를 정리하면

$$\delta = y_a \sec^2\theta_r d \theta_r$$

이므로

$$ \frac{d\theta_i}{d\theta_r} = \frac{y_a \cos^2 \theta_i}{y \cos^2 \theta_r}$$

두 결과를 종합하면

$$ y_a = \frac{y}{n} \left( \frac{\cos \theta_r}{\cos \theta_i}\right)^3 = \frac{y}{n}\left( \frac{\cos^2 \theta_r}{1 - {\sin^2 \theta_r}/{n^2}}\right)^{3/2}$$