Geometry & Recognition

물이 가득찬 병을 오른쪽 그림처럼 관이 부착된 마개로 닫는다. 바닥쪽 출구를 열면 물이 흘러나와 관 속의 공기 기둥의 높이가 오른쪽 그림처럼 되었다. 이후 수면의 높이가 어느 구간에 있을 때 출구에서 흘러나오는 물의 속력이 일정할까?

1. 없다
2. A-B 구간
3. A-C 구간
4. B-C 구간

Q. 출구가 B 높이에 만들어져 있었다면 어떻게 될까?

동일한 두 용기에 같은 부피의 수은과 알코올이 들어 있다. 바닥에 동일한 구멍이 생긴다면 어느 쪽이 먼저 비워지는가?

1. 동시에
2. 무거워서 바닥에서 압력이 큰 수은
3. 가벼워서 쉽게 움직일 수 있는 알코올

보통 베르누이 방정식은 에너지 보존을 써서 유도한다. 에너지 보존식이 뉴턴의 운동방정식에서 나온 결과이므로 베르누이 방정식 또한 운동방정식에서 직접 유도할 수 있다(steady, incompressible, frictionless flow). 유체 입자가 움직이는 경로인 유선 상의 한 지점을 고려하자. 이 지점에서 가속도 벡터는 유선의 접선 방향과 그 지점에서 곡률 중심을 가리키는 법선 방향 성분으로 분해가 가능하다. 유선은 유선의 길이 ($s$)를 매개변수로 써서 표현할 수 있으므로 이를 이용하면 가속도의 접선 성분은 

$$ a_t = \frac{d  |\vec{v}|}{dt}= \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{ds}\frac{ds}{dt} = \frac{dv}{ds}{v} = \frac{1}{2} \frac{dv^2}{ds}$$ 

가속도의 법선 성분은 구심가속도이므로 그 지점에서 곡률 반지름이 $R$이면

$$ a_n = \frac{v^2}{R}$$

유선상의 한 지점을 중심으로 하는 부피가 $dV = ds dA$인 미소 박스를 생각하자.

이 미소 박스에 작용하는 접선 방향의 알짜힘은 박스 좌우에서 작용하는 압력의 차이가 만드는 힘과 중력의 접선성분의 합으로 주어진다:

$$\sum F_t  = - P(s+ds/2) dA + P(s-ds/2) dA - \rho g \sin \theta dV = -\Big( \frac{dP}{ds} + \rho g \sin \theta \Big) dV$$

미소 부피 속의 유체 질량이 $dm = \rho dV$이므로 접선 방향의 운동방정식은

$$ -\frac{dP}{ds} -\rho g \sin \theta = \frac{1}{2} \rho \frac{dv^2}{ds} $$

그런데 유체는 비압축성이고, $\sin \theta = dz/ds$이므로 다음과 같이 베르누이 방정식을 얻을 수 있다:

\begin{gather}\frac{d}{ds}\Big( P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g z \Big) = 0 \\ \text{or}\quad P +\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z = \text{const} \end{gather}

법선 방향의 운동방정식도 같은 방법으로 유도할 수 있는데, 법선 방향의 압력 변화를 $dP/dn$이라면

$$\frac{dP}{dn} + \rho \frac{v^2}{R} + \rho g \frac{dz}{dn}=0$$

이 방정식을 사용하기 위해서는 유선의 각 위치에서의 곡률 반지름에 대한 정보가 주어야 한다.

일정한 속도의 유체가 흐르는 파이프 벽에 구멍을 만들어 그림처럼 작은 유리관을 설치했다. 유리관에 생기는 유체기둥이 더 높은 것은?

1. A
2. B
3. 같다

물로 가득 채운 용기와 나무토막을 넣고 물을 가득 채운 동일한 용기를 양팔 저울에 올렸을 때 어느 쪽으로 기울까?

1. 왼쪽: 나무토막이 잠긴 부분만큼 왼쪽에 물이 더 많이 들어 있으므로
2. 평형: 왼쪽이나 오른쪽 모두 수면의 높이가 같아 바닥에 작용하는 수압에 의한 힘이 동일하기 때문에
3. 오른쪽: 바닥 수압은 같지만 수면 위로 올라온 나무토막의 무게만큼 더 오른쪽이 무거우므로