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I=11log(a+x)dxx1x2=πarcsin(1a)a>1

x=cosθ로 치환을 하면

I=π0log(a+cosθ)dθcosθ=122π0log(a+cosθ)cosθ를 얻고, z=eiθ로 다시 치환을 하면

I=1iunit circlelog(z2+2az+1)log(2z)1+z2

따라서 I를 구하는 문제는  f(z)=log(z2+2az+1)log(2z)1+z2의 단위원 위에서 경로적분으로 환원이 된다. log함수 때문에 z=a±a11, 0이 branch point에 해당하므로 그림의 cutline을 선택한다.

그리고 z=±if(z)의 simple poles에 해당하고, residue는 각각

Resf(±i)=log(a)+iπ/2±2i  Resf(i)+Resf(i)=0

임을 확인할 수 있다.  따라서

C1+C2=πi×(Resf(i)+Resf(i))=0

z=0, z=a+a21을 감싸는 미소원에서 적분은 0에 수렴함도 확인 할 수 있다.

C6+C4+C8=0

C3C9에서는 분모의 두 log함수의 위상이 상쇄되므로 0에 수렴함도 알 수 있다. 마지막으로 C5C7log(2z)의 cutline에 해당하지 않으므로 적분기여가 없어서,

C5+C7=2πiaa210dxx2+1

=2πi×arctan(aa21)

=πi×arcsin(1a)

따라서

11log(a+x)dxx1x2=πarcsin(1a)

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I=2π0dθ1+sin2θ=2π

이 적분을 복소함수 적분을 이용하여 구하기 위해서 먼저

sinθ=eiθeiθ2i11+sin2θ=11+(eiθeiθ2i)2=4e2iθe4iθ6e2iθ+1임을 이용하자. 이제 z=e2iθ로 치환하면 θ에 대한 적분은 복소평면에서 단위원에서 선적분으로 바뀌는데 θ:02π이므로 z는 단위원을 따라  두번 감게된다.  따라서 적분은 단위원에서 선적분의 두배가 되어야 한다.

그리고

dz=2ie2iθdθI=2×unit circle2idzz26z+1

z=3±22가 simple poles인데, 이 중 z1=322가 단위원에 포함이 된다. z1에서 residue는 Resf(z1)=2iz1z2=2i42 이므로 residue 정리에 의해서 I=2×(2πi×2i42)=2π 동일한 방법으로 다음 결과를 얻을 수 있다.

2π0dθ1+cos2θ=2π

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ππθsinθdθa+sinθ=πaa21(πtan1a21)ππθcosθdθa+sinθ=2πlog(2a22aa21)

함수 f(z)=2zlogzz2+2iaz1,a>1의 경로적분을 고려하자. Brach point가 z=0이므로 음의 x 축을 cutline으로 선택한다. 그러면 πarg(z)π. 적분경로는 그림과 같이 반지름 1인 원으로 선택하자.

그러면 simple pole z1=i(aa21)은 경로 내부에 포함이 된다. 그리고 residue는 

Resf(z1)=(aa21)[log(aa21)iπ/2]a21

경로 C1에서 z=xeiπ (x:01)이므로 

C1=210x(logxiπ)dxx22iax1

경로 C3에서 z=xeiπ (x:10)이므로, 

C3=210x(logx+iπ)dxx22iax1이어서

C1+C3=4πi10xdxx22iax1=4πi10(x21+2iax)xdx(x21)2+4a2x2=2πi01uduu2+4a2u+4a2+8πa10x2dx(x21)2+4a2x2=2πi(log(2a)+alog(aa21)a21)+2πa21(π2a21atan1a21)

그리고 C2에서는 z=eiθ (θ:ππ)이므로

C2=2ππ(iθeiθ)(iθeiθdθ)e2iθ+2iaeiθ1=2ππi2θeiθdθeiθ+2iaeiθ=ππ(θsinθ+iθcosθ)dθa+sinθ

그리고 Cϵ에서 적분은 0에 수렴한다. 정리하면 

ππθsinθdθa+sinθ=πaa21(πtan1a21)ππθcosθdθa+sinθ=2πlog(2a22aa21)

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