Integration along a branch cut-046

$$\begin{array}{c}{\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{\theta \sin \theta d\theta }{a+\sin \theta }=\frac{\pi a}{\sqrt{a^2-1}}(\pi -{\tan }^{-1}\sqrt{a^2-1})\\ {\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{\theta \cos \theta d\theta }{a+\sin \theta }=2\pi \log (2a^2-2a\sqrt{a^2-1})\end{array}$$

함수 $$f(z)=\frac{2z\log z}{z^2+2iaz-1},a>1$$의 경로적분을 고려하자. Brach point가 $z=0$이므로 음의 $x$ 축을 cutline으로 선택한다. 그러면 $-\pi \le \arg (z)\le \pi$. 적분경로는 그림과 같이 반지름 1인 원으로 선택하자.

그러면 simple pole $z_1=-i(a-\sqrt{a^2-1})$은 경로 내부에 포함이 된다. 그리고 residue는 

$$\text{Res}f(z_1)=-\frac{(a-\sqrt{a^2-1})[\log (a-\sqrt{a^2-1})-i\pi /2]}{\sqrt{a^2-1}}$$

경로 $C_1$에서 $z=x{e}^{-i\pi }(x:0\to 1)$이므로 

$${\int }_{C_1}=2{\int }_0^1\frac{x(\log x-i\pi )dx}{x^2-2iax-1}$$

경로 $C_3$에서 $z=x{e}^{i\pi }(x:1\to 0)$이므로, 

$${\int }_{C_3}=-2{\int }_0^1\frac{x(\log x+i\pi )dx}{x^2-2iax-1}$$이어서

$$\begin{array}{c}{\int }_{C_1+C_3}=-4\pi i{\int }_0^1\frac{xdx}{x^2-2iax-1}\\ =-4\pi i{\int }_0^1\frac{(x^2-1+2iax)xdx}{(x^2-1{)}^2+4a^2{x}^2}\\ =-2\pi i{\int }_{-1}^0\frac{udu}{u^2+4a^{2}u+4a^2}+8\pi a{\int }_0^1\frac{x^{2}dx}{(x^2-1{)}^2+4a^2{x}^2}\\ =-2\pi i(\log (2a)+\frac{a\log (a-\sqrt{a^2-1})}{\sqrt{a^2-1}})\\ +\frac{2\pi }{\sqrt{a^2-1}}(\frac{\pi }{2}\sqrt{a^2-1}-a{\tan }^{-1}\sqrt{a^2-1})\end{array}$$

그리고 $C_2$에서는 $z=e^{i\theta }(\theta :-\pi \to \pi )$이므로

$$\begin{array}{c}{\int }_{C_2}=2{\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{(i\theta e^{i\theta })(i\theta e^{i\theta }d\theta )}{e^{2i\theta }+2ia{e}^{i\theta }-1}\\ =2{\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{i^2\theta e^{i\theta }d\theta }{e^{i\theta }+2ia-e^{-i\theta }}\\ ={\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{(-\theta \sin \theta +i\theta \cos \theta )d\theta }{a+\sin \theta }\end{array}$$

그리고 $C_{ϵ}$에서 적분은 0에 수렴한다. 정리하면 

$$\begin{array}{c}{\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{\theta \sin \theta d\theta }{a+\sin \theta }=\frac{\pi a}{\sqrt{a^2-1}}(\pi -{\tan }^{-1}\sqrt{a^2-1})\\ {\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{\theta \cos \theta d\theta }{a+\sin \theta }=2\pi \log (2a^2-2a\sqrt{a^2-1})\end{array}$$