Integrate 1/(1+sin^2 θ) from 0 to 2π

$$I={\int }_0^{2\pi }\frac{d\theta }{1+{\sin }^2\theta }=\sqrt{2}\pi$$

이 적분을 복소함수 적분을 이용하여 구하기 위해서 먼저

$$\begin{gathered} \sin \theta =\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i} \\ \frac{1}{1+{\sin }^2\theta }=\frac{1}{1+{\left(\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}\right)}^2}=\frac{-4e^{2i\theta }}{e^{4i\theta }-6e^{2i\theta }+1} \end{gathered}$$임을 이용하자. 이제 $z=e^{2i\theta }$로 치환하면 $\theta$에 대한 적분은 복소평면에서 단위원에서 선적분으로 바뀌는데 $\theta :0\to 2\pi$이므로 $z$는 단위원을 따라  두번 감게된다.  따라서 적분은 단위원에서 선적분의 두배가 되어야 한다.

그리고

$$\begin{gathered} dz=2i{e}^{2i\theta }d\theta \\ I=2\times {\oint }_{\text{unit circle}}\frac{2idz}{z^2-6z+1} \end{gathered}$$

$z=3\pm 2\sqrt{2}$가 simple poles인데, 이 중 $z_1=3-2\sqrt{2}$가 단위원에 포함이 된다. $z_1$에서 residue는 $$\text{Res}f(z_1)=\frac{2i}{z_1-z_2}=\frac{2i}{-4\sqrt{2}}$$ 이므로 residue 정리에 의해서 $$I=2\times (2\pi i\times \frac{2i}{-4\sqrt{2}})=\sqrt{2}\pi$$ 동일한 방법으로 다음 결과를 얻을 수 있다.

$${\int }_0^{2\pi }\frac{d\theta }{1+{\cos }^2\theta }=\sqrt{2}\pi$$