진자의 주기와 진폭

Physics 2021. 1. 18. 11:49
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진자의 주기를 구할 때 보통 작은 진동 근사를 사용한다. 진자의 진폭이 크지 않는 경우 주기는 진폭에 무관하게 일정한 값 $T=2\pi \sqrt {\frac {\ell}{g}}$를 갖는다. 그럼 진폭이 커지는 경우는 어떻게 될까?

운동 방정식을 써도 되지만 역학적 에너지가 보존되므로 이를 이용하면(회전 관성: $I=m\ell^2$, 진폭=$\theta_0$)

$$ \frac {1}{2} I \Big(\frac {d\theta}{dt}\Big)^2 + mg \ell (1 - \cos\theta)=const= mg\ell (1- \cos \theta_0) \\  \rightarrow \quad \Big(\frac {d\theta}{dt} \Big)^2  =\frac {2g}{\ell} (\cos \theta- \cos \theta_0).$$

우변을 $\theta_0, ~\theta$에 대해서 전개하면

$$ \Big( \frac { d\theta}{dt } \Big)^2   = \frac {g}{\ell}\Big(\theta_0^2 -\frac {1}{12} \theta_0^4 - \theta^2 + \frac {1}{12} \theta^4+...\Big) =\frac{g}{\ell}(\theta_0^2 -\theta^2) \Big( 1 - \frac{1}{12} (\theta_0^2 + \theta^2)+...\Big)$$로 써지는데 작은 각 근사를 벗어났을 때 가장 큰 기여를 하는 $-(\theta_0^2 + \theta^2 ) /12$항이  음의 기여를 한다. 이는 같은 위치에서 작은 각 근사를 할 때보다 각속도가 더 작아짐을 의미한다. 따라서 진자가 더 느리게 움직여서 주기가 길어질 것이라는 예측을 구체적인 계산 없이도 할 수 있게 된다.

 

이제 주기를 구해보자. 에너지 보존식에서 변수 분리를 해서 적분하면

$$T = \int dt = 4 \sqrt {\frac {\ell}{2g}} \int_0^{\theta_0} {\frac {d\theta}{\sqrt {\cos \theta - \cos \theta_0}}}$$을 얻는다. 여기서 $\sin(\theta/2) = \sin (\theta_0/2) \sin(\varphi )$로 치환을 하면

$$T = 4\sqrt { \frac { \ell }{g}} \int_0^{\pi/2} {\frac {d \varphi}{\sqrt {1 - k^2 \sin^2 \varphi}}}, \quad k^2 = \sin^2(\theta_0/2).$$

진폭이 작은 경우($\theta_0  \ll 1 ~\rightarrow k=0)$는 적분 값이 $\frac {\pi}{2}$이므로 $T = 2\pi \sqrt {\frac {\ell}{g} }$가 됨을 확인할 수 있다.  위 적분은 타원 적분이라고 부르고 $k$가 주어지면 수치 연산을 통해서 그 값을 얻을 수 있다. 

 

좀 더 직관적으로 진폭에 따른 주기의 변화를 보기 위해서 (진자의 경우 $k^2 \le \frac {1}{2}$이므로) 급수 전개를 하면, 

$$\frac {1}{\sqrt {1-k^2 \sin^2\varphi}}   = 1 +\frac {1}{2} k^2\sin^2 \varphi +\frac {1}{2}\frac {3}{2} k^4 \sin^4 \varphi +\dots $$

이므로 주기는 

$$T = 2\pi \sqrt { \frac {\ell}{g} } \left [ 1 + \Big( \frac {1}{2} \Big)^2 k^2 + \Big( \frac {1}{2} \frac {3}{4} \Big)^2 k^4 + \dots \right]$$

로 표현된다. 이 식은 진자의 진폭이 커지면 주기도 길어진다는 것을 명확히 보여준다.

 

강의동영상을 볼 수 있는 곳:

youtu.be/34zcw_nNFGU

 

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얼마나 늘어날까?

Physics 2020. 12. 24. 11:28
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오른쪽 물체를 일정한 힘 $F$로 당기면 용수철은 얼마까지 늘어날 수 있을까? 단, 당기기 시작할 때 두 물체는 정지상태이고 용수철은 늘어나거나 압축되지 않았다.

1. $F/4k$

2. $F/2k$

3. $F/k$

4. $2F/k$

5. 용수철이 끊어지기 전까지 늘어날 수 있다.

더보기

두 물체의 질량중심 좌표계에서 일-에너지 정리를 사용해도 되지만, 직접 운동 방정식을 푸는 방법을 사용하면

$$m \ddot{x}_1 = -k (x_1 - x_2), \quad m\ddot{x}_2 = - k (x_2 - x_1) +F.$$

두 물체의 상대좌표 $x=x_2 -x_1$에 대한 방정식은

$$ \ddot{x}= - \frac{2k}{m} x + \frac{F}{m}.$$

용수철의 자연 길이가 $\ell_0$면  이 방정식의 해는 ($x(0)=\ell_0,~\dot{x}(0)=0$)

$$ x(t) = \ell_0 + \frac{F}{2k}(1- \cos (\sqrt{\frac{2k}{m}}t))$$

이므로 $\max(|x-\ell_0|)= F/k$.

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천장에 연결된 줄이 끊긴 직후 위쪽 물체의 가속도는?

1. $0$

2. $g/2$

3. $g$

4. $\sqrt{2}g$

5. $2g$

https://www.youtube.com/watch?annotation_id=annotation_314765&feature=iv&src_vid=eCMmmEEyOO0&v=uiyMuHuCFo4

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  1. hgmhc 2020.12.22 23:14 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    2...g..인가요?

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용수철로 연결된 두 물체를 그림처럼 세워두면 위쪽 물체의 무게 때문에 용수철이 약간 압축이 된다. 이 상태에서 손으로 밀어 좀 더 압축한 후 손을 떼면 위쪽 물체가 위로 솟구쳐 오르게 되는데 압축이 많이 된 경우에는 아래쪽 물체까지 바닥에서 떨어지는 경우가 있다. 얼마나 압축하면 그럴까?

더보기

손으로 누르기 전에는 위쪽  물체의 무게 때문에 용수철은 원래 길이에서 $mg/k$만큼 아래로 압축이 된다. 여기에 추가로 $A$만큼 누른 후 손을 떼면 위쪽 물체는 처음 압축 위치를 기준으로 위-아래로 진동을 한다. 아래 물체가 받는 힘은 자체 무게, 용수철이 누르거나 당기는 힘 그리고 바닥이 주는 수직항력이다. 아래 물체가 바닥에서 떨어지지 않으려면 수직항력이 0보다 커야 한다. 중력은 항상 일정하므로 수직항력이 가장 작아지는 경우는 용수철이 원래의 길이보다 늘어나는 경우로 위쪽 물체가 최고 높이에 있을 때이다.  바닥에서 떨어지지 않는 경우 아래 물체에 작용하는 알짜힘 = 0 이므로

\begin{gather}\sum F_y = F_N -mg + k(A-mg/k)=0  \\ F_N = 2mg - kA \\ F_N > 0 \quad\rightarrow \quad A < {2mg}/{k}\end{gather}

따라서 아래 물체가 바닥에서 떨어질 조건은 $A\ge 2mg/k$. 

 

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위쪽 물체를 일정한 속도로 위로 당기다 보면 용수철로 연결된 아래쪽 물체가 어느 순간 바닥에서 떨어진다. 그런데 너무 빠르게 당기면 아래쪽 물체가 나중에 위쪽 물체와 부딪칠 수 있다. 당기는 속도가 얼마일 때 이런 현상이 가능한가? 압축된 용수철의 길이는 $L$이고, 용수철은 완전히 압축될 수 있다고 가정한다.(고무줄로 생각하면 된다)

힌트: 위쪽 물체와 같이 일정하게 위로 움직이는 관찰자 입장에서 생각하는 것이 쉽다.

 

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매끄러운 표면에서 그림과 같이 일정한 힘($F$)을 반지름이 $R$인 물체에 작용한다(둘레에 실이 감겨있고, 이 실을 일정한 힘으로 당긴다). 물체가 미끄러짐이 없이 구른다면 가능한 것은?

1. 원판(disk)

2. 링(ring)

3. 실린더(solid cylinder)

4. 공(hollow sphere)

5. 다 가능하다 

6. 다 불가능하다.

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매끄러운 수평 바닥에 놓인 3개의 동일한 막대를 일정한 힘 $F$로 (아주 짧은) 거리 $d$만큼을 밀었다. 이후 막대 중심이 움직이는 속력이 제일 큰 막대는?

1. A

2. B

3. C

4. 모두 같다.

 

 

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두 물체를 양쪽으로 잡아당겨 용수철을 늘린 후 동시에 마찰이 없는 바닥에 놓는다. 두 물체가 같은 값을 갖는 물리량은?

1. 속력($v$)

2. 가속도 크기($a$)

3. 운동량 크기($mv$)

4. 운동에너지($\frac {1}{2} m v^2$)

5. 이 중에는 없다.

 

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  1. so8286 2017.02.04 08:02  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    처음에 정지해있었으니깐 운동량의 크기는 같지만 반대가 아닐까 싶네요 답은 3 맞나요? 아근데 긍금한게 만약 용수철을 x만큼 늘리면 둘다 kx 만큼의 탄성복원력을 받게된다고 생각하는게 맞나요?

    • helloktk 2017.02.04 11:19 신고  댓글주소  수정/삭제

      용수철을 x만큼 늘리면(압축하면) 용수철의 양쪽 끝에서는 각각 kx의 크기로 안쪽(바깥쪽)으로 잡아당깁니다. 벽에 고정된 용수철을 x만큼 늘리려면 반대편 끝에서 kx의 힘을 주어야 하고, 벽도 kx만큼 힘을 주어야 한다는 사실을 생각하면 이해할 수 있을 것입니다. 질문의 답은 다른 관심있는 사람들을 위해서...

  2. 2017.02.04 19:55  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    비밀댓글입니다

  3. 2019.04.19 00:54  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    비밀댓글입니다

초기 가속도는

Physics 2016. 2. 15. 15:05
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균일한 줄을 마찰 없는 삼각형 모양의 경사면 양쪽에 그림과 같이 걸치게 놓은 후 손을 떼었다. 줄이 처음 움직이는 가속도는 얼마일까? (힌트: 물체가 경사면을 내려가는 가속도는 ($a=g \sin (\text{경사각})$)

 

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용수철에 3kg의 물체를 매달았더니 원래 길이보다 3m 늘어났다. 만약 용수철과 물체를 3 등분하여 오른쪽 그림처럼 매단다. 전체 늘어난 길이는 분할하기 전 늘어난 길이보다 길어지는가, 같은가 아니면 줄어드는가?

 

 

더보기

용수철을 두 부분으로 나누어 생각하면 전체 늘어난 길이는 개별 부분이 늘어난 길이의 합이고, 각 부분에서 작용하는 힘은 같아야 하므로(직렬이므로) 용수철 상수의 역수는 각 부분의 용수철 상수의 역수의 합으로 주어진다. 따라서 용수철을 균등하게 n 분할하면 용수철 상수는 원래의 n 배가 된다.

원래의 용수철이 3kg 질량을 매달면 3미터 늘어나므로, 3 등분하면 각 조각의 용수철 상수가 3배 증가한다. 맨 밑은 1 1/3 미터, 중간은 2/3 미터, 맨 위는 1미터 늘어나므로 전체적으로 2미터 늘어난다.

 

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두 개의 30cm 자를 준비하고 그중 하나의 끝에 지우개를 붙인다. 두 자를 벽에 똑바로 세운 후 살짝 기울여 넘어지게 할 때 더 빨리 바닥에 것은? 물리법칙을 이용해서 정량적으로 설명할 수 있는가?

자가 넘어지는 것은 자(+지우개)의 무게에 의한 토크 때문이다. 그러나 토크를 주더라도 물체의 회전 관성에 따라 회전 속력의 변화율이 달라진다. 회전 관성이 클수록 회전상태를 변화시키기가 어렵다. (회전 관성에서 왜 관성이라 단어가 붙었는지에 대한 이유다)

 

물체를 회전시키려는 토크는 회전축에서 무게중심까지의 거리에 비례하지만, 물체가 현재의 운동 상태를 유지하려는 경향을 나타내는 회전 관성은 회전축에서 무게중심까지의 거리의 제곱에 비례한다. 따라서 무게중심이 회전축에서 멀리 떨어진 경우가 회전 속력의 변화가 더디게 된다. 이는 망치를 손바닥 위에 세우려고 할 때 머리를 손바닥에 위치하게 세우는 것보다 손잡이 끝을 손바닥에 놓고 세우기가 더 수월한 이치와 같다. 정량적인 설명도 가능하다.

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