Geometry & Recognition

혜성이 태양에 가장 근접했을 때 거리가 지구궤도 반지름의 절반이고, 속력은 지구 공전속력의 2배이다. 이 혜성이 지구궤도 안쪽에 머무르는 시간은?

풀이: 지구 공전궤도가 반지름 $R$인 원이고, 공전속력이 $v$라면 다음을 만족한다.

$$\text {지구:}\quad   \frac { v^2} {R}= \frac {GM}{R^2}$$ 

이 관계식을 이용하면 근일점에서 혜성의 속력이 $2v$이고, 태양으로부터 거리가 $R/2$이므로 역학적 에너지는 

$$ E= \frac{1}{2} m(2v)^2 - \frac {GMm}{R/2} = 0$$이고, 이는 포물선 궤도임을 의미한다. 극좌표를 이용하면 혜성궤도는

$$ r = \frac{R}{1+ \cos \theta}$$이고, 지구 궤도 안쪽에 있기 위한 각범위는

$$ -\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac {\pi}{2}$$

각운동량이 보존되는데 근일점을 지날 때 계산하면 $J = m (2v) (R/2)= mvR$이고, 따라서 면적속도는  

$$ \frac {dA}{dt}= \frac {J}{2m}\qquad \to \quad r^2 \frac{d\theta}{dt}= vR $$로 주어진다. 이를 이용하면 지구궤도 안쪽에 머무르는 시간은 다음처럼 계산할 수 있다.

\begin{align} t_\text {inside} &= 2\times \frac {1}{vR} \int_{0}^{\pi/2}   r^2 d \theta \\ &= \frac {2R}{v} \int_0^{\pi/2} \frac {d\theta}{(1+ \cos \theta)^2}  = \frac {4R}{3v} \\  &= \frac {2}{3\pi } T_\text {earth} \approx77.5 \text {days}\end{align}