Geometry & Recognition

평면 위에 직선을 하나 그으면 영역은 두 개로 나뉜다. 따라서 직선이 하나일 때 영역의 개수는 $L_1 = 2$이다. 여기에 직선을 하나 더 추가할 때, 기존 직선과 평행하면 영역은 3개가 되지만 서로 교차하도록 그리면 $L_2 = 4$개의 영역이 만들어진다. 우리는 영역의 개수를 최대로 하는 경우를 생각하므로, 이후에는 항상 새로 추가되는 직선이 기존의 모든 직선과 서로 다른 점에서 만나도록 그린다.

세 번째 직선을 추가할 때도 마찬가지이다. 이 직선이 기존 두 직선과 각각 다른 점에서 만나고, 세 직선이 한 점에서 만나지 않도록 하면 새로운 직선은 두 번 교차하게 되고 그 결과 세 개의 새로운 영역이 생긴다. 따라서 이 경우 $L_3 = 7$이 된다.

이 과정을 일반화하면 다음과 같은 규칙을 얻을 수 있다. 이미 $n-1$개의 직선이 있을 때, $n$번째 직선을 추가하면 기존 직선들과 각각 한 번씩 만나므로 교점이 $n-1$개 생긴다. 이 교점들에 의해 새 직선은 $n$개의 선분으로 나뉘고, 각 선분이 하나의 새로운 영역을 만들어낸다. 따라서 전체 영역의 수는 이전보다 정확히 $n$만큼 증가한다. 이를 식으로 나타내면

\[ L_n = L_{n-1} + n \]이 된다. 초기값 $L_1 = 2$를 이용해 이 점화식을 전개하면
\[L_n = 2 + (2 + 3 + 4 + \cdots + n) .  \]

즉, 평면 위에 직선 $n$개를 그었을 때 영역의 최대 개수는
\[ L_n = 1 + \frac{n(n+1)}{2} \]이다. 이 결과는 직선을 추가할 때마다 가능한 한 많이 교차시키되, 세 직선이 한 점에서 만나지 않도록 하는 조건에서 얻어진다.