Geometry & Recognition

물리진자의 주기를 측정하면 그 진자가 놓인 지점의 중력가속도를 알아낼 수 있다. 물리진자의 한 지점을 회전축으로 하여 진동을 하고 있을 때 주기는 
$$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}$$로 주어지는데, $I$는 회전축에 대한 물리진자의 회전관성이고, $d$는 회전축에서 무게중심까지의 거리다. 회전축과 나란하고 질량중심을 통과하는 회전축에 대한 회전관성이 $I_{\text{cm}}$인 경우 평행축 정리에 의해 $I = I_{\text{cm}} + md^2 = m(k^2 + d^2)$으로 써진다. 그런데 일반적인 물리진자의 회전관성은 구하기가 매우 어려우므로 이 식을 써서 직접 이용해서 중력가속도 값을 얻기가 쉽지 않다. 

영국의 물리학자인 Kater는 회전관성을 정확하게 측정하지 않고도 물리진자의 주기를 이용해서 중력가속도를 알아내는 방법을 찾았다. 무게중심에서 $x_1$만큼 떨어진 한 회전축에 대한 주기를 측정한 후, 동일한 주기를 주는 다른 회전축을 찾는다(질량중심을 기준으로 처음 회전축 반대  방향에서 찾는다). 이 두 번째 회전축에서 무게중심까지의 거리를 $x_2$라고 하자. 그러면 $T^2 = \frac{4\pi^2}{g}\frac{k^2 + d^2}{d}$이므로 $d=x_1, x_2$를 각각 대입하여 다음과 같은 두 개의 관계식을 얻는다.
$$ T^2 x_1 = \frac{4\pi^2}{g} (k^2 + x_1^2), \qquad T^2 x_2 = \frac{4\pi^2}{g} (k^2 + x_2^2) $$
두 식의 차이를 계산하면
$$ T^2 (x_1 - x_2) = \frac{4\pi^2}{g} (x_1^2 - x_2^2) \qquad \to \qquad \boxed{g = \frac{4\pi^2 (x_1 + x_2)}{T^2}  = \frac{4\pi^2  L}{T^2}} $$을 얻는데, 중력가속도를 오로지 측정값 $T$, $L = x_1+x_2$만으로 표현할 수 있어, 강체의 회전관성을 측정할 필요가 없다. 최종 결과는 줄의 길이가 $L$인 단순진자를 사용했을 때와 같은 결과다. 

이제 주기 측정에서 오차가 생길 수 있고, 또 두 회전축 간격 측정에서도 오차가 생길 수 있다. 이 오차는 중력가속도에 주는 영향은 

$$ \delta g = \frac{4\pi^2}{T} \delta L - 2 \frac{4\pi^2 L}{T^3}\delta T  \qquad \to \qquad \frac{\delta g}{g} = \frac{\delta L}{L} - 2\frac{\delta T}{T}$$두 측정의 오차는 독립적으로 발생하는 랜덤오차로 볼 수 있으므로 중력가속도 측정의 불확도는 

$$\left(\frac{\sigma_g}{g} \right)^2 = \left(\frac{\sigma_L}{L} \right)^2 + 4 \left( \frac{\sigma_T}{T}\right)^2$$즉, 주기측정의 상대오차는 $g$에 2배 반영된다.

회전축 사이거리는 정확히 측정했지만, 주기 측정에서 오차가 발생하는 경우 중력가속도에 오차가 어떻게 반영되는지 확인하자. 측정된 주기가 $T_1$, $T_2$이라면 

$$ g =  {4\pi^2 L}\frac{x_1 - x_2 }{x_1T_1^2 - x_2 T_2^2 }, \qquad g_K = \frac{4\pi^2 L}{T^2 }$$

두 주기가 거의 같은 경우 $ T_1 = T +\frac{1}{2}\delta T$, $T_2 = T -\frac{1}{2}\delta T$

$$ g \simeq   \frac{4\pi^2  L}{ T^2 +\frac{L}{x_1 - x_2 } T \delta T}   \qquad\to \qquad \frac{g-g_K}{g_K} \simeq-\frac{L}{x_1 - x_2} \frac{\delta T}{T}$$

이므로 질량중심축에서 회전축까지의 거리 차이가 작은 경우 두 주기의 작은 차이가 중력가속도 측정에 매우 크게 영향을 준다.