Geometry & Recognition

질량 $m$인 고무밴드가 수직으로 서있는 원통기둥에 감겨있다. 감긴 고무밴드에 걸리는 장력은 $T$이다.  이 고무밴드가 아래로 미끄러지지 않기 위해서는 밴드와 원통기둥 사이의 마찰계수는 얼마나 되어야 하는가?

힌트:

밴드가 기둥에 접하는 면적을 $A$라고 하자. 고무줄의 임의의 미소부분에 수평방향으로는 장력과 기둥이 주는 압력이 평형상태에 있다. 

$$\sum  F_\text{horizontal} = 2T\sin \frac {\Delta\theta}{2} - P \Delta A=0$$

$\Delta \theta\to 0$일 때 이 식은

$$ T\Delta \theta = P \Delta A~~~\to ~~~ T (2\pi) = PA~~~\to~~~ P= \frac {2\pi T}{A}$$

로 밴드에 작용하는 압력을 얻는다(virtual work 원리를 이용해도 된다). 밴드의 미소 부분(질량=$m\frac{\Delta A}{A}$)에 작용하는 수직방향도 평형상태이므로

$$ \sum F_\text{vertical} = mg \frac {\Delta A}{A} - f_s=0$$

그런데 정지마찰력이 $ f_s  \le  \mu P \Delta A$이므로 

$$ \mu \ge \frac{mg}{2\pi T}$$

벽은 매끄럽고 바닥은 거친 코너에 그림과 같은 막대, 정삼격형, 반원을 비스듬히 세웠다. 바닥과의 마찰계수가 가장 큰 것은?

1. 막대
2. 정삼각형
3. 반원
4. 질량에 따라 다르다.
5. 기울어진 각도에 따라 다르다.

한쪽 끝이 공중에 떠있는 막대가 부분적으로 물에 잠겨 있다. 물속에 들어가 있는 부분의 얼마인가? 막대의 길이는 $L$, 비중은 $s < 1$이다.

힌트: