Kepler의 제1법칙은 행성의 궤도가 태원이며, 태양이 그 초점 중 하나에 놓인다는 사실을 말한다. 여기서는 뉴턴 역학에서의 보존법칙을 이용하여 기하학적인 증명을 보이도록 한다. 행성에 작용하는 힘이 중심력이므로 (단위질량당) 각운동량이 보존되고, 행성의 운동은 하나의 평면 안에서 일어남을 의미한다.
$$ \vec\ell = \vec r \times \vec v= \text{const}$$
그리고 중력이 보존력이므로 (단위질량당) 역학적에너지 역시 시간에 대해서 일정하게 유지된다.
행성이 공간적으로 일정한 영역 안에서 운동하기 위해서는 역학적 에너지가 음수, $\varepsilon <0$이어야 한다. 이는 행성의 속도가 유한하며, 행성이 원점(태양)으로부터 무한히 멀어질 수 없음을 의미한다. 따라서 궤도는 원점을 중심으로 하는 어떤 유한한 영역 내부에 제한된다. 속도가 0일 때 원점에서 가장 멀어질 수 있는데 그 거리가 $R=- k /\varepsilon$이다. 즉, 원점을 중심으로 하고 반지름 $R$인 원 $C$ 내부에 궤도가 제한된다. 행성의 위치벡터 방향으로 $C$의 원주 위의 점을 $\vec{s}$라면
천문학자 Brahe의 정교한 행성관측에 기반해서 Kepler는 태양계에서 행성의 궤도운동에 관한 3가지 법칙을 유추해 냈다. 이후 뉴턴은 만유인력 법칙과 뉴턴의 제 2법칙을 이용해서 만든 미분방정식을 직접적으로 풀어서 확인할 수 Kepler의 법칙을 확인할 수 있었다. 여기서는 미분방정식을 이용하는 접근보다는 행성운동에서 시간이 흘러도 변하지 않고 일정한 값을 가지는 보존량을 찾고 이를 이용해서 행성이 타원궤도를 따라 운동을 함을 보이자.
태양을 원점으로 하여 행성의 위치벡터를 $\vec r$라 두고, 그 크기를 $r = |\vec r|$라 하자. 이때 $\vec r$의 방향을 나타내는 단위벡터를 \begin{equation} \vec u \equiv \frac{\vec r}{r} \end{equation}로 정의하면, \begin{equation} \vec r = r \vec u \end{equation}로 쓸 수 있다. 이를 시간에 대해 미분하면 행성의 속도벡터는 \begin{equation} \vec v = \dot{\vec r} = \dot r\,\vec u + r\,\dot{\vec u} \end{equation} 가 된다. 행성은 태양의 중력에 의해 운동하므로, 뉴턴의 제2법칙에 따라 가속도는 \begin{equation} \vec a = -\frac{k}{r^2}\vec u, \qquad k \equiv G M_{\text{sun}} \end{equation}로 주어진다. 가속도가 항상 위치벡터 $\vec r$와 평행하므로, 단위질량당 각운동량 벡터 \begin{equation} \vec \ell \equiv \vec r \times \vec v \end{equation}는 보존된다. 실제로 양변을 시간에 대해 미분하면 \begin{equation} \frac{d\vec\ell}{dt} = \vec v \times \vec v + \vec r \times \vec a = \vec r \times \vec a = 0 \end{equation} 임을 확인할 수 있다. 이제 $\vec\ell$을 보다 구체적으로 계산하면, \begin{align} \vec\ell &= (r\vec u)\times(\dot r\,\vec u + r\,\dot{\vec u}) \\ &= r^2\,\vec u \times \dot{\vec u} \end{align} 를 얻는다. 한편 $\vec u\cdot\vec u = 1$을 미분하면 \begin{equation} \vec u\cdot\dot{\vec u} = 0 \end{equation}이므로 $\dot{\vec u}$는 항상 $\vec u$에 수직이다. 이 결과를 이용하여 $\vec a \times \vec\ell$을 계산하면, \begin{align} \vec a \times \vec\ell &= -\frac{k}{r^2}\,\vec u \times (r^2\,\vec u \times \dot{\vec u}) \\ &= k\,\dot{\vec u} \end{align} 가 된다. 또한 $\vec\ell$이 상수벡터이므로 \begin{equation} \vec a \times \vec\ell = \frac{d}{dt}(\vec v \times \vec\ell) \end{equation}로 쓸 수 있으므로 다음과 같은 벡터 방정식을 얻는다. \begin{equation} \frac{d}{dt}\bigl(\vec v \times \vec\ell - k\,\vec u\bigr) = 0, \end{equation} 따라서 \begin{equation} \vec{d} \equiv \vec v \times \vec\ell - k\,\vec u \end{equation}로 놓으면, $\vec d$는 상수벡터이다. $\vec d$는 Laplace-Runge-Lenz 벡터로 불리우면 힘이 거리의 제곱에 반비례하는 중심력의 형태일 때 각운동량, 역학적 에너지 이외에 추가적으로 보존이 되는 물리량이다. 각운동량 $\vec\ell$은 궤도 평면에 수직이므로, $\vec v \times \vec\ell$은 궤도 평면 내에 놓인다. 따라서 $\vec{d}$도 궤도 평면에 있는 벡터가 된다. 좌표계를 적절히 선택하여 궤도 평면을 $xy$-평면으로, $\vec d$를 $x$축 방향으로 두자. \begin{equation} \vec d = (d,0,0) \end{equation}극좌표계에서 \begin{equation} \vec r = (x,y,0) = (r\cos\theta, r\sin\theta, 0), \qquad \vec{u}=(\cos \theta , \sin \theta, 0) \end{equation} 로 두면, $\ell^2$는 \begin{align} \ell^2 &= \vec\ell\cdot\vec\ell \\ &= (\vec r\times\vec v)\cdot\vec\ell \\ &= \vec r\cdot(\vec v\times\vec\ell) \\ &= r\,\vec u\cdot(k\,\vec u + \vec d) \\ &= k r + r d \cos\theta \end{align}를 얻는다. 이를 $r$에 대해 정리하면 행성의 궤도 방정식은 \begin{equation} r = \frac{\ell^2/k}{1 + (d/k)\cos\theta} \end{equation}로 주어지며, 이는 태양을 초점으로 하는 원뿔곡선의 극좌표에서 방정식이다. 기하학적으로 $\ell^2/k$는 초점에서 근일점까지 거리이고 $e\equiv d/k$는 이심률로 $d/k < 1$이면 행성 궤도는 타원이다. 근일점($\theta=0$)의 방향이 $\vec d$의 방향이므로 Laplace-Runge-Lenz 벡터는 행성궤도가 평면에서 놓여있다는 것을 알려줄 뿐만 아니라 궤도의 방향까지도 알려준다.
$\vec{d}$의 제곱을 계산하면 단위질량당 행성의 에너지 $\varepsilon$가 다음을 만족함을 보일 수 있다.
\begin{align} d^2 &= (\vec{v} \times \vec{\ell})^2 - 2 k \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{\ell}) + k^2 \\ &=2 \left( \frac{1}{2} v^2 - \frac{k}{r} \right) \ell^2 + k^2 & \\ & = {2\varepsilon} \ell^2 + k^2 \end{align} 따라서 이심률 $e=d/k$가 $0$과 $1$ 사이의 값을 가지면 행성의 에너지가 음의 값을 가져 그 궤도는 타원이 되고, $e=0$이면 포물선 궤도를, 그리고 $e > 1$면 쌍곡선 궤도를 그리게 된다.
$\vec{d}$의 방향이 타원궤도의 근일점을 방향을 의미한다고 했고 궤도방정식을 보면 $d/k$가 이심률을 나타냄을 보았다. $d/k$의 기하학적 의미를 운동방정식과 각운동량 보존을 이용해서 직접적으로 보이도록 하자. 새로운 벡터 $\vec{s}$을 다음과 같이 정의하자.
$$ \vec{s}\equiv \vec{d} \times {\vec{\ell}} = - \ell ^2 \vec{v} + k \vec{\ell} \times \vec{u}$$ $\vec{d}$가 상수벡터이므로 $\vec{s}$도 상수벡터이다. 또는 $\vec{s}$를 직접 미분해서 확인할 수 있다.
$$ \vec{s} = -\ell ^2 \vec{v}_1 + k {\vec \ell} \times \vec{u}_1 = - \ell^2 \vec{v}_2 + k {\vec\ell} \times \vec{u}_2$$인데 그 두 지점에서 $\vec{\ell}\times \vec{u}$와 $\vec{v}$는 같은 방향을 가리키고, $\vec{v}_1 \parallel - \vec{v}_2$이므로 두 지점에서 크기가
$$ -\ell^2 v_1 + k\ell = -(-\ell^2 v_2 +k \ell)~~\to ~~ \frac{2k}{\ell}= v_1 + v_2 = \frac{\ell}{r_1} + \frac{ \ell}{r_2} = \frac{r_1 + r_2 }{ r_1 r_2} \ell $$이어서 각운동량은 근일점과 원일점까지의 거리로 표현할 수 있다. $$ \ell^2 = 2k \frac{ r_1 r_2}{r_1+r_2}$$ 이 결과를 근일점이나 원일점에서 계산한 $\vec{d}$에 대입하면 $$ d = k - \frac{\ell^2}{r_2} = k \frac{r_2 - r_1}{r_1 + r_2 } $$이어서 $d/k$가 이심률임이 명확하게 보인다.
