Geometry & Recognition

무거운 강철공($M$)과 가벼운 강철공($m\ll M$)이 거의 접촉한 채로 $h$ 높이에서 떨어진 후 단단한 바닥에 충돌한다. 이후 가벼운 강철공이 날아가는 속도는(방향, 빠르기)? 단, 모든 충돌은 탄성적이다.

힌트: 무거운 공이 바닥에 충돌하기 직전 두 공의 속도는 동일한 $v= \sqrt {2gh}$이다. 무거운 공은 바닥에 탄성충돌 후 위쪽 방향으로 동일한 속력 $v(\uparrow)$으로 아래로 내려오는 가벼운 공과 2차충돌한다. 두 공의 질량 차이가 크기 때문에 2차 충돌 후 무거운 공의 속도는 충돌 직전과 달라지지 않는다고 가정해도 된다. 그리고 두 공 사이의 충돌이 탄성적이라고 했으므로 충돌 직전의 상대속도와 충돌 직후의 상대속도 크기는 변하지 않는다. 충돌 과정에 가벼운 공은 두 공의 중심을 잇는 선분방향으로 내력을 받으므로 그 방향의 속도 성분($\nwarrow$)이 변한다: $V$. 

$$\text {충돌 직전 상대속도:}~~ v\cos \theta - (- v \cos \theta)= 2v \cos \theta $$

$$\text {충돌 직후 상대속도:}~~ V- v \cos \theta $$

따라서  $$ V= 3v \cos \theta = 2 \sqrt {2gh} \cos 30^\circ = \sqrt {6gh}$$이므로 가벼운 공의 충돌 후 속력은 

$$ v_\text{light} = \sqrt {V^2 + v^2 \sin ^2 \theta } = \sqrt { \frac {13}{2} gh}$$

반지름 $R$인 반구 꼭대기에 같은 질량의 물체가 놓여 있다. 마찰이 없을 때 수평 방향 충격을 살짝 주면 물체는 반구를 따라 미끄러지기 시작하고 반구는 반대로 밀리기 시작한다. 물체가 일정한 거리를 내려온 후 반구와 접촉이 없어지게 되는 데 어느 위치인가?

힌트(https://kipl.tistory.com/629): 물체가 수직방향에서 각도 $\theta$ 만큼 내려왔을 때 반구에서 떨어진다면, 이 순간 물체가 반구에 작용하는 수직항력은 0이 되고 이후 반구는 일정한 속도로 움직인다. 이 순간 반구의 왼쪽 방향 속도를 $V$, 그리고 물체의 접선방향 속도를 $u$(반구에서 보는 물체의 속도)라고 하자. 물체는 반구를 따라 원운동을 하므로 반구와 같이 움직이는 관찰자 입장(물체가 떨어지는 순간부터 관성계임)에서 순간적으로 원운동을 하는데, 수직항력이 사라지는 지점이므로 구심력은 중력의 중심성분 뿐이다.

$$ mg \cos \theta = \frac {m u^2}{R}~~\to~~ u^2 = Rg \cos \theta $$

수평방향 외력이 없으므로 운동량 보존법칙을 적용하면

$$  mV  =   m ( u \cos \theta - V)~~~\to ~~~ V= \frac {1}{2} u \cos \theta$$

또한 역학적에너지가 보존되므로 

$$ mgR ( 1-\cos \theta) = \frac {1}{2} mV^2 + \frac {1}{2} m ( u^2 + V^2 - 2uV \cos \theta)$$

$$\to ~~~2gR (1- \cos \theta) = 2V^2 + u^2 - 2uV \cos \theta$$

미지수가 $V$, $u$, $\theta$ 인데 식이 3개 있으므로 풀 수 있다. 정리하면

$$ \cos^3 \theta - 6 \cos \theta +4 =0$$

$$\to~~~\cos \theta = \sqrt{3}-1~~~\text{or}~~~ \theta = 42.94^\circ$$

그림과 같이 3 물체가 줄(전체 길이=$2L$)로 연결되어 있다. 물체 $M$에 충격을 주어 줄에 수직한 방향으로 $V$의 속도로 움직이기 시작한다. 질량 $m$인 두 물체가 충돌하기 직전 줄에 걸리는 장력은?

힌트: 외력이 없으므로 운동량이 보존된다. 충돌 직전 두 물체의 수직 속도 성분 $v_\bot$은 같아야 하고, 수평성분의 크기($v_{||}$)도 같아야 한다. 운동량 보존에 의해서 

$$y:~~~MV =  (M+ 2m) v_\bot ~~~\to ~~~ v_\bot = \frac{1}{1+2m/M}V$$

역학적에너지 보존에 의해서

$$ \frac{1}{2}MV^2 = \frac{1}{2} Mv_\bot^2 + m ( v_\bot^2 + v_{||}^2) ~~~\to~~~v_{||} = \sqrt{\frac{1 }{1+2m/M}}V$$

충돌 직전 $M$의 가속도를 $a$(아랫방향), 줄의 장력을 $T$라면 

$$a= \frac{2T}{M}$$

이고 $M$과 같이 움직이는 관찰자(비관성계) 입장에서 두 질량 $m$은 충돌직전 순간적으로 원운동을 한다. 이 때 작용하는 구심력은 장력과 관성력(위쪽방향)의 합이다.

$$ T + ma = \frac{mv_{||}^2}{L} ~~~\to ~~~ T = \frac{ m }{(1+2m/M)^2} \frac{V^2}{L}$$