점집합을 일반적인 2차 곡선으로 피팅하는 경우에 방정식은

$$ a x^2 + by^2 + cxy +d x + ey +f = 0$$

의 계수를 주어진 데이터를 이용하여서 구해야 한다. 실제 문제에서는 타원, 포물선 쌍곡 선등의 타입에 따라 몇 가지 제약 조건을 넣어 피팅을 한다. 원은 타원의 특별한 경우로 일반적으로 $a = b$, $c = 0$의 제약 조건이 필요하다. 그러나 보다 엄밀하게 제약을 하게 되면 $a = b = 1$의 추가 조건을 줄 수 있다. 이 경우는 점들이 모두 일직선에 있는 경우를 ($a = b = 0$) 취급할 수 없게 된다. 이 예외적인 경우를 제외하고는 최소자승법을 사용하면 계수를 매우 쉽게 구할 수 있기 때문에 많이 이용된다.

 

문제: 주어진 데이터를 fitting 하는 이차곡선(원)

$$x^2  + y^2 + A x + B  y + C = 0$$

의 계수 $A, B, C$를 최소자승법을 사용해서 구하라. 

 

주어진 점집합이 원 위의 점이면 우변이 0이 되어야 하나, 실제 데이터를 얻는 과정에서 여러 노이즈에 노출되므로 일반적으로 0이 되지 않는다. 최소자승법은 주어진 점들이 원에서 벗어나는 정도의 제곱 합이 최소가 되도록 하는 계수 $A, B, C$를 결정한다.  원과 점의 편차의 제곱합
$$ L=\sum_ i   \left |x_i^2 + y_i^2 + A x_i + B y_i + C \right|^2 , $$

의 극값을 찾기 위해서 $A, B,$ 그리고 $C$에 대해 미분을 하면

$$\frac{\partial L}{\partial A} = 2 \sum_i (x_i^2 + y_i^2 + A x_i + B y_i + C) x_i = 0, $$

$$\frac{\partial L}{\partial B} = 2 \sum_i (x_i^2 + y_i^2 + A x_i + B y_i + C) y_i = 0, $$

$$\frac{\partial L}{\partial C} = 2 \sum_i (x_i^2 + y_i^2 + A x_i + B y_i + C) = 0. $$

이 연립방정식을 풀면  $A, B, C$를 구할 수 있다. 우선 세 번째 식에서 

$$ CN = -S_{x^2} - S_{y^2} - AS_x - BS_y ,$$

을 얻고, 이를 첫번째와 두 번째 식에 각각 대입하면

$$A ( NS_{x^2} - S_x^2) + B ( N S_{xy} - S_x S_y ) =-N S_{x^3} - N S_{xy^2} + S_{x^2} S_x + S_{y^2} S_x, $$

$$A ( NS_{xy} - S_x S_y ) + B ( N S_{y^2} - S_y^2) = -N S_{y^3} - N S_{x^2 y}  +S_{x^2} S_y +S_{y^2} S_y, $$

을 얻을 수 있다. 다시 정리하면 두 개의 연립방정식

$$-a_1 A - a_2 B = 2c_1,$$

$$-b_1 A - b_2 B = 2c_2,$$

을 얻는다. $a_1, a_2 =  b_1, b_2, c_1, c_2$는 코드에서 정의되어 있다. 그리고

따라서, 추정된 원의 중심 $(c_x, c_y)$는 

$$ c_x = - \frac{A}{2} = \frac{c_1 b_2  - c_2 a_2}{ a_1 b_2 - a_2 b_1},$$

$$ c_y = - \frac{B}{2} = \frac{-c_1 b_1 + c_2 a_1}{a_1 b_2 -a_2 b_1},$$

로 주어지고, 반지름은 

$$r^2 =  c_x^2 +c_y^2 - C = c_x^2 + c_y^2 + \frac{1}{N}( S_{x^2}+S_{y^2}- 2c_x S_x - 2 c_y S_y)$$

로 주어진다.

Note: 질량중심 좌표계로 옮긴 후 moment를 계산하면 $S_x = S_y =0$이어서 식이 더 간결해지고, 수치적인 안정성도 좋아질 수 있다.

Ref: I. Kasa, A curve fitting procedure and its error analysis. IEEE Trans. Inst. Meas., 25:8-14, 1976

/* 구현 코드:*/
double circleFit_LS(std::vector<CPoint>& Q, double& cx, double& cy, double& radius) {
    if (Q.size() < 3) return -1;
    double sx  = 0.0,  sy = 0.0;
    double sx2 = 0.0, sy2 = 0.0, sxy  = 0.0;
    double sx3 = 0.0, sy3 = 0.0, sx2y = 0.0, sxy2 = 0.0;
    double mx = 0, my = 0;            /* center of mass;*/
    for (int k = Q.size(); k-->0;)
        mx += Q[k].x, my += Q[k].y;
    mx /= Q.size(); my /= Q.size();
    /* compute moments; */
    for (int k = Q.size(); k-->0;) { /* offset (mx, my)*/
        double x = Q[k].x - mx, xx = x * x;
        double y = Q[k].y - my, yy = y * y;
        sx   += x;       sy   += y;
        sx2  += xx;      sy2  += yy;      sxy  += x * y;
        sx3  += x * xx;  sy3  += y * yy;
        sx2y += xx * y;  sxy2 += yy * x;
    }
    /* compute a's,b's,c's; */
    const int N = Q.size();
    double a1 = 2.0 * (sx * sx - sx2 * N);
    double a2 = 2.0 * (sx * sy - sxy * N);
    double b1 = a2;
    double b2 = 2.0 * (sy * sy - sy2 * N);
    double c1 = (sx2 + sy2) * sx - (sx3 * N + sxy2) * N;
    double c2 = (sx2 + sy2) * sy - (sy3 * N + sx2y) * N;
    double det = a1 * b2 - a2 * b1;
    if (fabs(det) < 1.e-10) return -1;    /*collinear한 경우임;*/
    /* center; */
    cx = (c1 * b2 - c2 * b1) / det;
    cy = (a1 * c2 - a2 * c1) / det;
    /* radius squared */
    double radsq = cx * cx + cy * cy + (sx2 + sy2 - 2 * (sx * cx  + sy * cy)) / N;
    radius = sqrt(radsq);
    cx += mx; cy += my; /* recover offset; */
    return FitError(Q, cx, cy, radius);
}

 

 
 
 
 
 
 
 
 
728x90

'Image Recognition > Fundamental' 카테고리의 다른 글

PCA Line Fitting  (0) 2020.11.12
Histogram Equalization  (0) 2020.11.12
Integer Sqrt  (0) 2020.11.11
Parabolic Interpolation in Peak Finding  (3) 2020.11.10
Histogram Matching  (0) 2012.11.03
Posted by helloktk
,

Savitzky-Golay 필터는 일차원의 데이터에 대해 이동평균을 취하는 경우와 같은 방식으로 동작하는 필터이지만, 윈도의 모든 점에 동일한 가중치를 주는 이동평균과 다르게 윈도 픽셀 값을 보간하는 다항식을 최소자승법으로 찾아서 해당 지점의 값으로 할당하는 방식을 택한다(frequency domain에서 분석하면 Savitzky-Golay 필터의 특성, 예를 들면, 피크의 위치가 잘 유지되는 점과 같은 특성을 좀 더 다양하게 볼 수 있다). 이 필터를 쓰기 위해서는 다항식의 찾수와 윈도 크기를 정해야 한다. (다항식의 찾수가 정해지면 최소 윈도 크기는 정해진다).

동일한 방식으로 이차원에 대해서도 Savitzky-Golay를 적용할 수 있다. 이 경우 다항식은 $(x, y)$의 2 변수 함수로 2차원 평면에서 정의되는 곡면으로 나타낸다. 2차원 영상의 경우도 국소 필터를 사용할 수 있지만, 필터 윈도를 영상 전체로 잡아서 전 영역을 보간하는 곡면을 찾을 수도 있다. 배경 조명이 균일하지 않는 영상의 경우 이 곡면을 이용하면 조명에 의한 효과를 예측할 수 있고, 이를 보정한 영상을 이용하면 인식에 도움을 받을 수 있다. (문자 인식에서 문서를 스캔할 때 생기는 균일하지 않은 배경이나, 2차원 바코드 인식에서 배경의 추정 등 다양한 부분에서 사용할 수 있다. 좀 더 간단하게는 배경의 변화를 균일하게 기울어진 평면으로 근사를 하여 추정할 수 있다) 

3차 다항식으로 영상을 보간하는 경우: \begin{align} I(x, y)&= a_{00}\\ &+a_{10} x + a_{01} y \\ &+a_{20} x^2 + a_{11} xy + a_{02} y^2\\ &+a_{30} x^3+a_{21} x^2y+a_{12} xy^2+a_{03} y^3, \quad (x, y)\in \mbox {image} \end{align}

다항식은 $x= [a_{00}, a_{10},..., a_{03}]^T$ 의 10개의 필터 계수를 추정하면 얻어진다. 추가적으로 Savitzky-Golay을 이용하면 영상의 미분 값을 쉽게 구할 수 있다. 로컬 버전의 필터인 경우에 필터 적용 값은 윈도의 중심인 $(x, y) = (0, 0)$에서 다항식 값인 $a_{0}$이다. 이 지점에서 $x$-방향의 편미분 값은 $a_{10}$, $y$-방향의 편미분 값은 $a_{01}$로 주어진다.

필터의 계수 $x$는 최소자승법을 적용하면 얻을 수 있다. 위의 다항식에 $N(= width\times height)$개의 픽셀로 구성된 영상의 각 픽셀에서 좌표와 픽셀 값을 대입하면, $N$개의 식을 얻는다. 이를 행렬로 표현하면, 

$$\bf A\cdot x = b$$

$\bf A$는 $N\times10$ 의 행렬로 각 행은 픽셀의 좌표로 구해진다: 

$${\bf A} =\left[ \begin{array}{cccccccccc} 1&x_0&y_0&x_0^2&x_0y_0&y_0^2&x_0^3&x_0^2y_0&x_0y_0^2&y_0^3\\ 1&x_1&y_1&x_1^2& x_1y_1& y_1^2& x_1^3& x_1^2 y_1 & x_1 y_1^2 & y_1^3\\ 1& x_2& y_2 &x_2^2 & x_2 y_2& y_2^2 & x_2^3 & x_2^2 y_2 & x_2 y_2^2 & y_2^3 \\ &&&&\vdots \end{array} \right]$$

여기서, $i$-번째의 픽셀 위치가 $(x_i, y_i)$로 주어진 경우다. $\bf b$는 $N$-(열) 벡터로 각 픽셀 위치에서 픽셀 값을 나타내는 벡터다: 

$${\bf b}=\left[\begin{array}{c} I(x_0, y_0)\\I(x_1,y_1)\\I(x_2, y_2)\\ \vdots \end{array}\right]$$

최소자승법을 적용하면, 추정된 다항식의 계수 벡터 $\bf x$는 $|\bf A\cdot x - b|^2$을 최소로 하는 벡터로,

$$\bf x = (A^T \cdot A)^{-1} \cdot A^T \cdot b$$

로 주어짐을 알 수 있다. $\bf A^T \cdot A$는 $10\times 10$의 대칭 행렬로 역행렬은 쉽게 구할 수 있다.

이렇게 추정된 2차원 곡면은 영상에서 추정된 배경의 픽셀 값 분포를 의미한다. 문자인식의 예를 들면, 보통 경우에 흰 배경에 검은색 활자를 인식한다. 스캔된 영상에 검은색 활자 때문에 추정된 곡명은 일반적으로 주어진 픽셀이 만드는 곡면보다도 낮게 된다. 픽셀 값이 추정된 곡면보다 더 낮은 픽셀들은 보통 검은색 문자들을 의미하므로, 이 차이의 평균값을 구하면, 대략적으로 어떤 픽셀이 배경에 속하는지 (곡면과 차이가 평균보다 작고, 또한 픽셀 값이  곡면의 아래에 놓인 경우), 아니면 문자 영역인지(곡면과 차이가 평균보다 크고, 픽셀 값이 곡면의 아래에 놓인 경우)를 구별할 있게 된다.   

이제 이 정보들을 이용해서 추정을 다시 하는데 이번에는 1차 추정에서 글씨 영역으로 분류된 픽셀을 제외하고 배경을 추정하면 좀 더 정확한 배경을 기술하는 곡면을 얻을 수 있다.
로컬 필터로 사용할 때는 1차원에서와 마찬가지로 필터 계수를 lookup table로 만들어서 사용할 수 있으나, 전 영역을 대상으로 할 때는 행렬의 크기가 매우 커져서 연산량도 많아진다. 

영상:

 

1차 추정 배경 영상:

 

2차 추정 배경 영상:

 

728x90

'Image Recognition' 카테고리의 다른 글

Statistical Region Merging  (2) 2012.03.25
Local Histogram Equalization  (0) 2012.03.10
webcam용 QR code detector  (0) 2012.02.19
Least Squares Estimation of Perspective Transformation  (4) 2012.02.15
Perspective Transformation  (2) 2012.02.14
Posted by helloktk
,

두 영상 사이의 perspective 변환은 8개의 매개변수 $(a, b, c, d, e, f, g, h)$에 의해서 다음 식처럼 기술이 된다. (see, http://kipl.tistory.com/86)

또는, 

따라서, 매개변수를 찾기 위해서는 두 영상에서 서로 대응하는 점이 4개 이상 주어져야 한다. N개의 대응점들이 주어진 경우

 

각각의 대응점을 위의 식에 대입해서 정리하면 아래의 행렬식을 얻을 수 있다.(좌변 행렬의 마지막 열은 전부 - 부호가 들어가야 한다) 
 

 

 

 

 

또는, 간단히 

$$ \bf A \cdot x = b$$

로 쓸 수 있다. 그러나 대응점을 찾을 때 들어오는 noise로 인해서 실제 데이터를 이용하는 경우에는 정확히 등호로 주어지지 않는다. 따라서, 실제 문제에서는 좌변과 우변의 차이의 제곱을 최소로 만드는 $\bf x$를 찾아야 할 것이다.

$$ \mathbf{x}^{*} = \underset{\mathbf{x}}{\text {argmin }} | \mathbf{A}\cdot \mathbf{x} - \mathbf{b}|^2.$$

최소자승해를 찾기 위해 $\bf x^{T}$에 대해 미분을 하면

$$ \bf (A^{T} \cdot A)\cdot x  = A^{T} \cdot b,$$

를 얻고, 이 식을 풀어서 ${\bf x}^*$을 구하면 된다. $\bf A^T \cdot A$는 $8\times 8$의 대칭 행렬로 역행렬을 구할 수 있다 (주어진 점들 중 한 직선 위에 놓이지 않는 점이 4개 이상이 있어야 한다). 따라서 최소자승해는 다음과 같이 쓸 수 있다:

$$\bf x^{*} = (A^{T} \cdot A)^{-1} \cdot (A^{T} \cdot b).$$

728x90

'Image Recognition' 카테고리의 다른 글

2차원 Savitzky-Golay Filters 응용  (0) 2012.02.28
webcam용 QR code detector  (0) 2012.02.19
Perspective Transformation  (2) 2012.02.14
Integral Image을 이용한 Adaptive Threshold  (0) 2012.02.04
Peak Finder  (1) 2012.02.02
Posted by helloktk
,

The Savitzky–Golay method essentially performs a local polynomial regression (of degree $k$) on a series of values (of at least $k+1$ points which are treated as being equally spaced in the series) to determine the smoothed value for each point.

Savitzky–Golay 필터는 일정한 간격으로 주어진 데이터들이 있을 때(이들 데이터는 원래의 정보와 노이즈를 같이 포함한다), 각각의 점에서 주변의 점들을 가장 잘 피팅하는 $k$-차의 다항식을 최소자승법으로 찾아서 그 지점에서의 출력값을 결정하는 필터이다. 이 필터는 주어진 데이터에서의 극대나 극소, 또는 봉우리의 폭을 상대적으로 잘 보존한다.(주변 점들에 동등한 가중치를 주는 Moving Average Filter와 비교해 볼 수 있다).

간단한 예로, 2차의 다항식과 5개의 데이터 점

$$\{ (-2, d_0), (-1, d_1), (0, d_2), (1, d_3), (2, d_4)\}$$

을 이용해서 중앙에서의 값을 결정하는 방법을 살펴보자. 사용하려고 하는 다항식은

$$p(x)= a_0+ a_1 x + a_2 x^2$$

이다. 다항식의 계수는 다항식의 값과 실제 데이터의 값과의 차이를 최소화시키도록 선택해야 한다. 즉, 최소자승의 원리를 적용하여서 구하면 된다. 계산된 다항식의 값과 실제 데이터 값 사이의 차의 제곱을 구하면:

$$L = |a_0-2a_1 + 4a_2 -d_0|^2 +|a_0 -a_1 + a_2 -d |^2 + |a_0 -d_0|^2 \\+ |a_0 + a_1 + a_2 -d_3|^2 + |a_0 + 2 a_1 + 4 a_2 -d_4|^2$$

이 식의 $a_0, a_1, a_2$에 대한 극값을 가질 조건은 $$5 a_0+ 10 a_2 = d_0+ d_1 + d_2 + d_3 + d_4 \\ 10 a_1 = -2 d_0 – d_1 + d_3 + 2 d_4 \\ 10 a_0+ 34 a_2= 4d_0 + d_1+ d_3+ 4d_4$$

이 식을 만족시키는 $a_0$를 구하면, 필터의 출력(원도 중앙에서 값)이 결정된다.

$$\text{필터 출력} =a_0 = (-3d_0 + 12 d_1 + 17 d_2 + 12 d_3 - 3 d_4)/35$$

위에서 계수 $a_0$, $a_1$, $a_2$를 결정하는 방정식은 행렬로 정리하면 아래의 식과 같이 표현할 수 있다. 

좌변의 5행 3열 행렬을 $\mathbf{A}$, ${\mathbf{a}}=[a_0, a_1, a_2]^T$, ${\mathbf{d}}=[d_0, d_1, d_2, d_3, d_4]^T$로 놓으면, 이 행렬방정식은 $\mathbf{ A.a = d}$ 형태로 쓸 수 있다. $\mathbf{A}$가 정방행렬이 아니므로 역행렬을 바로 구할 수 없지만, $|\mathbf{ A \cdot a - d} |^2$을 최소로 하는 최소제곱해는
$$\bf (A^T\cdot A)\cdot a = A^T \cdot d$$를 만족시켜야 하므로 

$$\bf a = (A^T\cdot A)^{-1} \cdot (A^T \cdot d)$$로 주어짐을 알 수 있다.

이 식은 임의의 $k$-차 다항식을 이용한 경우에도 사용할 수 있다. 이 경우 행렬 $\bf A^T \cdot A$는 $(k+1)\times (k+1)$의 대칭행렬이 된다. 행렬 $\bf A$는 다항식의 찻수와 피팅에 사용이 될 데이터의 구간의 크기가 주어지면 정해지므로, 윗 식에서 $({\bf A}^T\cdot {\bf A})^{-1}\cdot {\bf A}^T$의 첫 행 ($a_0$을 $d$로 표현하는 식의 계수들)을 구하면 코드 내에서 결과를 lookup table로 만들어서 사용할 수 있다. 아래 표는 mathematica 를 이용해서 윈도 크기가 7 (7개 점)인 경우 2차 다항식을 사용할 때 계수를 구하는 과정이다.

 


2차 다항식일 때, 같은 방식으로 다양한 윈도 크기에 따른 계수를 구할 수 있다.
*크기($n$)에 따른 필터값 결정계수 (중앙에 대해 좌우대칭이다);
\begin{align} n=5;\quad &W[~] = \{-3, 12, \mathbf{17}, 12, -3\};\\ n=7;\quad &W[~] = \{-2, 3,  6, \mathbf{7}, 6, 3, -2\};\\ n=9;\quad &W[~] = \{-21, 14, 39, 54, \mathbf{59}, 54, 39, 14, -21\}; \\n=11;\quad&W[~]=\{-36,9,44,69,84,\mathbf{89},84,69,44,9,-36\};\\ n=13;\quad &W[~]=\{13,-11,0,9,16,21,24,\mathbf{25},24,21,16,9,0,-11,13\}\end{align} 

$$\text{필터 출력} =  \frac{\sum_i W[i]d[i]}{\sum_i W[i]}$$

int SavitzkyGolayFilter(std::vector<double>& data, double W[], int wsz, 
                        std::vector<double>& out) {
    int hwsz = wsz >> 1;
    wsz = (hwsz<<1) + 1;
    std::vector<double> data_pad(data.size() + 2 * hwsz);
    // reflective boundary conditions;   
    // [hw]...[1][0][1][2]...[hw]....[n-1+hw][n-2+hw][n-3+hw]....[n-1];
    for (int i = 0; i < hwsz; i++) { 
        data_pad[i]                  = data[hwsz-i];
        data_pad[i+data.size()+hwsz] = data[data.size()-2-i];
    }
    for (int i = data.size(); i-->0;) data_pad[i+hwsz] = data[i];
    //
    out.resize(data.size());
    double wsum = 0;
    for (int i = 0; i < wsz; i++) wsum += W[i]; 
    for (int i = data.size(); i-->0;) {
        double *pdata_pad = &data_pad[i];
        double fsum = 0;
        for (int k = 0; k < wsz; k++) fsum += pdata_pad[k] * W[k];
        out[i] = fsum / wsum;
    }
    return 1;
};

wsz=25, green=Savitzky-Golay, red=Moving average

 

 
 
 
728x90

'Image Recognition' 카테고리의 다른 글

Adaboost  (0) 2010.12.28
Blur Detection  (0) 2010.05.25
Retinex 알고리즘  (11) 2010.02.03
Gaussian Mixture Model & KMeans  (4) 2010.01.30
Image Morphing  (0) 2010.01.24
Posted by helloktk
,

물체의 형상은 폴리곤이나 폴리곤의 집합으로 근사적으로 표현할 수 있다. 예를 들면 snake나 active shape model (ASM) 등에서 손 모양이나 얼굴의 윤곽, 또는 의료 영상 등에서 장기의 모양 등을 표현할 때 사용이 된다. 이러한 응용에서 주어진 형상을 기준으로 주어진 형상에 정렬을 시켜야 필요가 생긴다. 일반적으로 카메라를 써서 얻은 각 영상에서 추출한 정보들 사이에는 서로 사영 변환의 관계로 연결된다. 그러나 많은 경우에는 in-plane 변형만 고려해도 충분할 때가 많다. 이 경우에 가장 일반적인 형상의 변형은 affine 변환으로 표현된다. 회전(rotation), 평행 이동(translation), 크기 변환(scale transformation) 그리고 층 밀림(shear)을 허용하는 변환이다. 물론, 간단한 경우로는 shear를 제외할 수도 있고 (similarity transformation), 더 간단하게는 크기 변환을 제외할 수도 있다 (isometric transformation).

$N$개의 꼭짓점을 갖는 두 개의 형상 $S=\{(x_1, y_1), (x_2, y_2),..., (x_N, y_N) \}$, $S'=\{(x'_1, y'_1), (x'_2, y'_2),..., (x'_N, y'_N) \}$이 affine 변환에 의해서 연결이 되는 경우에 각 꼭짓점 사이의 관계는

\begin{align} x'_i &= a x_i  + b y_i + t_x \\ y'_i &= c x_i + d y_i + t_y, \quad (i=1,2,..., N);\end{align}

의 6개의 매개변수$(a, b, c, d, t_x, t_y)$에 의해서 기술이 된다(평행 이동: $x/y$축 방향 2개, 회전: 1개, shear: 1개, 스케일: $x/y$축 방향 2개). Affine 변환에 의해서 평행인 두 직선은 변환 후에도 평행인 관계를 유지한다.

꼭짓점 위치는 실제로 다양한 영상처리 과정에 의해서 얻어지므로 필연적으로 노이즈를 포함하게 되어서 일종의 랜덤 변수로 생각해야 한다. 주어진 랜덤 변수에서 최적으로 매개변수를 추출하기 위해 최소자승법을 이용한다. Affine 변환된 좌표와 실제 측정된 좌표 사이의 거리 차이를 최소화하는 매개변수를 찾도록 하자:

$$L=\sum_i \big| x'_i - a x_i - b y_i - t_x \Big|^2 + \big| y'_i - c x_i -d y_i - t_y\big|^2 $$

Affine변환을 규정하는 매개변수를 구하기 위해서는 L을 각 매개변수에 대해서 미분해서 극값을 가질 조건을 구하면 된다:

        ∂L/∂a = -2 * ∑ (x'i - a * xi - b * yi - tx) * xi ;
        ∂L/∂b = -2 * ∑ (x'i - a * xi - b * yi - tx) * yi ;
        ∂L/∂c = -2 * ∑ (y'i - c * xi - d * yi - ty) * xi ;
        ∂L/∂d = -2 * ∑ (y'i - c * xi - d * yi - ty) * yi ; 
        ∂L/∂tx = -2 * ∑ (x'i - a * xi - b * yi - tx) ;
        ∂L/∂ty = -2 * ∑ (y'i - c * xi - d * yi - ty); 

각 식을 0으로 놓아서 얻어지는 연립방정식을 행렬식으로 다시 정리하면,

$$\left[\begin{array}{ccc} S_{xx} & S_{xy} & S_x \\ S_{xy} & S_{yy} & S_y \\ S_x & S_y & N \end{array}\right]\left[ \begin{array}{ll} a & c \\ b & d\\ t_x & t_y \end{array} \right] = \left[\begin{array}{cc} S_{xx'} & S_{x y'} \\ S_{y x'} & S_{yy'} \\ S_{x'} & S_{y'}\end{array} \right]$$

여기서,
\begin{align} & S_{xx}= ∑ x^2, ~S_{yy} = ∑ y^2, ~S_{xy} = ∑ xy, \\ &S_x = ∑ x, ~S_y = ∑ y, ~S_{x'} = ∑ x', ~S_{y'} = ∑ y' \\ & S_{xx'} = ∑ xx', ~S_{xy'} = ∑ xy', ~S_{yx'} =∑ yx' \end{align} 이다.

// dst = (A,T)src;
//  [u]  = [ A0 A1 ][x] + A4
//  [v]  = [ A2 A3 ][y] + A5
//
BOOL GetAffineParameter(POINT *srcPts, POINT *dstPts, int n, double AT[6]) {
    double Sx, Sy, Sxx, Sxy, Syy;
    double Su, Sv, Sxu, Sxv, Syu, Syv ;
    double A[9], invA[9] ;
    double det ;
    Sx = Sy = Sxx = Sxy = Syy = 0;
    Su = Sv = Sxu = Sxv = Syu = Syv = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        double x = srcPts[i].x, y = srcPts[i].y ;
        double u = dstPts[i].x, v = dstPts[i].y ;
        Sx += x;        Sy += y ;
        Sxx += (x * x); Sxy += (x * y); Syy += (y * y);
        Su += u;        Sv += v ;
        Sxu += (x * u); Sxv += (x * v); Syu += (y * u); Syv += (y * v);
    }
    A[0] = Sxx; A[1] = Sxy; A[2] = Sx;
    A[3] = Sxy; A[4] = Syy; A[5] = Sy;
    A[6] = Sx ; A[7] = Sy ; A[8] = n ;
    det = (A[0]*(A[4]*A[8]-A[5]*A[7])-A[1]*(A[3]*A[8]-A[5]*A[6])+A[2]*(A[3]*A[7]-A[4]*A[6])) ;
    if (det != 0.) {
        det = 1. / det; 
        invA[0] = (A[4]*A[8] - A[5]*A[7]) * det;
        invA[1] = (A[2]*A[7] - A[1]*A[8]) * det;
        invA[2] = (A[1]*A[5] - A[2]*A[4]) * det;
        invA[3] = (A[5]*A[6] - A[3]*A[8]) * det;
        invA[4] = (A[0]*A[8] - A[2]*A[6]) * det;
        invA[5] = (A[2]*A[3] - A[0]*A[5]) * det;
        invA[6] = (A[3]*A[7] - A[4]*A[6]) * det;
        invA[7] = (A[1]*A[6] - A[0]*A[7]) * det;
        invA[8] = (A[0]*A[4] - A[1]*A[3]) * det;
    }
    else return FALSE;

    AT[0] = invA[0] * Sxu + invA[1] * Syu + invA[2] * Su;
    AT[1] = invA[3] * Sxu + invA[4] * Syu + invA[5] * Su;
    AT[4] = invA[6] * Sxu + invA[7] * Syu + invA[8] * Su;
    AT[2] = invA[0] * Sxv + invA[1] * Syv + invA[2] * Sv;
    AT[3] = invA[3] * Sxv + invA[4] * Syv + invA[5] * Sv;
    AT[5] = invA[6] * Sxv + invA[7] * Syv + invA[8] * Sv;
    return TRUE ;
};

아래의 그림은 지문에서 얻은 특징점을 가지고 변환을 한 것이다. 밑에 그림이 기준 template (붉은 점)이고 윗 그림은 이 기준  template와 입력된 지문의 특징점(노란 점+ 녹색점) 사이에 서로 메칭이 되는 특징점(노란색)을 찾고, 그것을 기준으로 두 지문 영상 간의 affine 파라미터를 찾아서 기준 template을 변환시킨 것이다. 이렇게 하면 새로 찾은 특징점 중에서 기준 template에 없는 특징점(녹색점)을 발견할 수 있고, 이 특징점을 기준 template에 추가하여서 좀 더 넓은 범위를 커버할 수 있는 template을 만들 수 있다. 물론 추가된 녹색점이 신뢰할 수 있는 것인가에 대한 판단을 하기 위해서는 추가적인 정보가 더 요구된다.

 

728x90

'Image Recognition' 카테고리의 다른 글

Image Morphing  (0) 2010.01.24
Fant's Algorithm  (0) 2010.01.22
Color Counting  (0) 2010.01.18
Isometric Transformation  (0) 2010.01.11
Active Shape Model (3)  (0) 2009.12.30
Posted by helloktk
,