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오토바이를 타고 코너를 돌 때 안쪽으로 약간 기울이면 넘어지지 않고 안전하게 돌 수 있다는 사실은 라이더라면 누구나 경험으로 알고 있을 것이다.

1. 왜 기울여야 하는가?

2. 속력 $v$로 반지름 $R$인 코너를 돌 때 얼마나 기울여야 할까?

3. 도로면의 마찰계수는 얼마나 되어야 할까?

https://www.youtube.com/watch?v=ZpV2Bg-WX0w&t=244s

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천칭(양팔 저울)의 양쪽 팔에 올려진 두 물체의 무게가 같아야 수평으로 균형을 잡는다. 물체의 무게 차이가 생기면 무거운 쪽으로 조금 기울인 상태에서 정지한다. 그리고 차이가 클수록 더 많이 기운다. 천칭은 양쪽 팔에 오려진 물체의 무게가 만드는 토크를 비교하는 장치로 더 큰 토크를 작용하는 쪽으로 기울게 된다. 천칭 팔이 기울어져도 무게가 큰 쪽이 항상 더 큰 토크를 만들므로 물리 관점에서 보면 팔이 수직이 될 때까지 회전을 해야 한다. 그런데 실제로는 조금 기운 상태에서 정지하는 것을 볼 수 있다. 왜 그런가?(축에 기름칠을 잘 해도 마찬가지이므로 마찰 때문은 아니다)

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현재 피사의 탑은 수직에 대해서 4.7도 정도 기울어져 있다고 한다. 어느 각도까지 넘어지지 않고 견딜 수 있을까? 간단히 추정하기 위해 탑을 균일한 원통형 기둥으로 생각하면 탑의 무게중심을 지나는 연직선이 탑의 맨 아래 가장자리를 넘어서는 경우에 넘어지게 된다. 왜냐하면 이 경우에 중력이 만드는 넘어지는 토크를 상쇄시킬 방법이 없다. (물론 외부에서 줄로 당기면 된다) 따라서 임계각은 $$ \tan \theta = \frac{D}{H}\quad \Leftrightarrow \quad \theta = \tan^{-1} \frac{D}{H}.$$

 

 

 

피사 탑은 높이가 $\tt H=55m$ 평균 지름이 $\tt D=7m$이므로 임계각은 $\tt 7.25^\circ$ 정도다. 현재 기울어진 각도는 $\tt 5.5^\circ$이다.

 

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버스가 갑자기 가속을 하면 서 있는 사람은 넘어질 수 있다. 어느 정도의 가속도에서 넘어질까? 넘어지는 기준은 가속도 방향의 발이 바닥에서 떨어질 조건과 같다. (물론 실제 상황에서는 몸을 다시 움직여서 안 넘어지려는 시도를 할 수 있지만, 여기서는 사람을 딱딱한 강체로 근사한다. 또한 미끄러짐은 생각하지 않는다)

 

 

사람에 작용하는 힘은 자신의 무게(무게 중심이 바닥에 $h$ 높이에 있다)와 양발에 작용하는 수직항력(두 발의 간격 = $d$)과 차와 같이 움직이게 하는데 필요한 마찰력이 있다. (그냥 서있어서 손잡이에 의한 힘은 무시한다) 사람의 자유물체도는 아래와 같다:

 

미끄러지지 않는다고 가정하면 사람의 질량중심은 버스와 같은 가속도로 움직인다. 질량중심의 운동 방정식과 질량중심에 대한 회전 운동 방정식을 고려하면(질량중심에 대해서 $f_1$, $f_2$, $N_2$는 반시계 방향으로 회전시키려하고 $N_1$은 시계 방향으로 회전시키려 한다. 넘어지지 않은 상황에서는 이들 토크 사이에 균형이 있어야 한다)

 

미지수는 $f_1$, $f_2$, $N_1$, $N_2$로 4개인데 식은 3개여서 미지수가 완전히 결정이 안되지만 수직항력은 구할 수 있다.

 

넘어지지 않기 위해서는 양발에 걸리는 수직항력이 0 보다 커야 한다. $N_1$은 항상 양수이므로 $N_2 \ge 0$ 조건에서 넘어지지 않을 최대 가속도는 

 

.

사람의 질량중심이 낮을수록($h$), 두 발을 넓게 벌릴수록($d$) 더 큰 가속도에 넘어지지 않고 견딜 수 있다. 그리고 몸무게에는 무관하다.

$h=100cm, d=50cm$ -> $a =2.45 m^2/s$: 100미터를 9초에 도달할 수 있는 가속도

 

 

 

 

 

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바닥에 놓인 냉장고를 밀면 냉장고는 바닥의 상태에 따라서 미끄러지거나 또는 넘어진다. 

 

미끄러지는 경우는 미는 힘(수평 성분)이 정지 마찰력의 최댓값$(f_{max})$보다 더 커야 한다.

$$f_{max} = \mu_s Mg \quad \rightarrow \quad F \ge \mu_s Mg.$$

미끄러지지 않고 넘어지는 경우는 오른쪽 아래를 회전축으로 넘어지는데, 넘어지기 직전에는 마찰력(수평)과 수직항력(수직)은 오른쪽 끝에 몰린다. 이 회전축을 기준으로 하면 냉장고 무게는 반시계 방향의 토크를 만들고, 미는 힘은 시계방향을 토크를 만든다(마찰력과 수직항력은 이 회전축에 대해서는 모멘트 팔=0이어서 토크를 만들지 않는다). 미는 힘에 의한 토크가 중력이 만드는 토크보다 더 크면 넘어진다.

 

넘어지기 직전 냉장고의 FBD

$$ \sum\tau_R =Fd - Mg \frac{W}{2}\ge 0 \quad \rightarrow \quad F \ge \frac {W}{2d} Mg.$$

 

넘어지기 전에는 물체의 밑면이 바닥에 닿고 있는데 이때 마찰력과 수직항력은 어디에 작용할까?

더보기

넘어지기 직전이 아닌 경우는 일반적으로 수직항력(따라서 마찰력)은 바닥 전체 면적에 퍼져서 작용한다. 그렇지만 왼쪽에서 밀면 오른쪽에 더 많이 수직항력이 걸릴 것이다. 이 수직항력이 한 지점에 평균적으로 작용한 것으로 생각할 수 있는데, 그 지점에서 오른쪽 모서리까지 거리를 $x$라면 넘어지기 전에는 $x\gt 0$이 될 것이다. 따라서 넘어지기 전 상황을 고려하면 평형이므로(이 경우엔 수직항력이 토크에 기여한다. 마찰력은 여전히 모멘트 팔=0이어서 기여 없다:어느 지점에 작용하는가를 물어볼 필요가 없다)

$$ \sum \tau_R = Fd -Mg\frac{W}{2} + Nx = 0$$

여기서 넘어지려면 $$x=\frac{ \frac {1}{2} MgW -Fd }{N}\le 0$$

이어서 위와 같은 결론을 얻는다.

 

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막대의 양끝을 줄로 천장에 평행하게 매달았다. 만약 한쪽 줄을 자르면 막대의 한쪽 끝은 아래로 떨어진다. 

 

끊어진 직후에는 중력 때문에 순간적으로 왼쪽 끝을 회전축으로 회전을 하게 된다. 그러나 이 순간 회전 각속도는 없기 때문에(회전을 막 시작하기 때문) 구심력이 필요하지 않아 수평방향의 힘은 필요 없다.

 

(1) 줄을 자른 직전의 줄의 장력은?

- 각 줄은 막대 무게의 절반을 부담한다.

 

(2) 줄을 자른 직후의 잘리지 않은 줄에 걸리는 장력은?(막대가 여전히 나란한 상태)

- 막대에 작용하는 힘: 장력(윗방향), 중력(아래 방향);

- 중력이 막대의 왼쪽 끝을 축으로 회전시키려는 토크를 만든다.

 

왼쪽 끝에 대한 회전 방정식(이 경우 중력만 시계방향 토크에 기여함)

질량중심에 대한 회전 방정식을 고려하면(이 경우 장력만 시계방향 토크에 기여)

 

두 회전 방정식을 비교하면 

 

즉, 장력이 처음보다 절반으로 줄어든다(오른쪽 줄이 없어지면 전체 질량을 다 견뎌야 할 것 같지만, 실제로는 원래보다 절반으로 줄어든다)

 

점검: 질량중심의 운동을 보면 장력과 중력이 작용하므로

 

그런데 회전운동에서 회전 각속도를 구할 수 있고 이를 이용해서 구한 질량중심 가속도와 비교하면 앞의 계산이 옳음을 체크할 수 있다:

 

 

이후 막대는 어떤 방식으로 움직이게 될까?

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막대의 평형 위치는

Physics 2016. 1. 21. 09:34
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막대의 한쪽 끝을 줄로 천장에 매달고 반대편은 물 위에 떠 있는 스티로폼 조각 위에 약간 기울게 올려놓았다. 막대와 스티로폼이 더 이상 움직이지 않는 상태가 되었을 때 모습으로 맞는 것은 어느 것일까?

 

더보기

막대에 작용하는 힘은 중력, 스티로폼으로부터 받는 힘, 그리고 장력이 있다. 스티로폼이 주는 힘은 물의 저항력을 무시하면 수직 방향의 힘 밖에 없다. 왜냐면 수평 방향의 힘을 막대에 주면 반작용으로 스티로폼도 수평 방향의 힘을 받는데 이것을 상쇄시켜 평형에 도달하게 만들 힘이 없기 때문이다(스티로폼이 바닥에 있다면 정지 마찰력이 이 역할을 한다). 따라서 중력과 수직향력은 수직 방향의 힘뿐이므로 만약 장력이 수평성분을 가지면 이것을 상쇄시킬 힘이 없으므로 절대로 평형에 도달할 수 없게 된다. 그러므로 가능한 장력의 방향은 수직 방향밖에 없다. 따라서 막대에 작용하는 중력은 수직 방향의 장력과 수직항력에 의해서 상쇄된다.

 

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두 개의 30cm 자를 준비하고 하나는 끝에 지우개를 붙인다. 두 자를 벽에 똑바로 세운 후 살짝 기울여 넘어지게 할 때 어느 자가 더 빨리 바닥에 도달하는가?

물리법칙을 이용해서 정량적으로 설명할 수 있는가?

자가 넘어지는 것은 자(+지우개)의 무게에 의한 토크 때문이다. 그러나 토크를 주더라도 물체의 회전 관성에 따라 회전 속력의 변화율이 달라진다. 회전 관성이 클수록 회전상태를 변화시키기가 어렵다. (회전 관성에서 왜 관성이라 단어가 붙었는지에 대한 이유다)

 

물체를 회전시키려는 토크는 회전축에서 무게중심까지의 거리에 비례하지만, 물체가 현재의 운동 상태를 유지하려는 경향을 나타내는 회전 관성은 회전축에서 무게중심까지의 거리의 제곱에 비례한다. 따라서 무게중심이 회전축에서 멀리 떨어진 경우가 회전 속력의 변화가 더디게 된다. 이는 망치를 손바닥 위에 세우려고 할 때 머리를 손바닥에 위치하게 세우는 것보다 손잡이 끝을 손바닥에 놓고 세우기가 더 수월한 이치와 같다.

정량적인 설명도 가능하다.

 

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감긴 줄을 그림에 표시된 방향으로 당길 때 실패는 어느 방향으로 구르는가? 물리법칙을 이용해서 설명할 수 있는가? 첫 번째는 명확하다... 두 번째와 세 번째는?

각 경우 마찰력의 방향은? 

 

유튜브 동영상을 볼까요?

동영상을 보면 구르지 않고 끌려오는 경우가 있다. 어떤 조건에서 이러한 현상이 생길까?

 

 

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평지에서 장롱과 같은 물체를 양끝에서 들 때는 두 사람이 같은 힘을 주어야 한다. 그럼 경사진 계단에서 같은 물체를 들 때 누가 힘을 더 많이 쓰는가? 물리법칙으로 설명할 수 있는가?

 

누가 힘을 더 많이 쓰는가?

 

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