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공기 저항이 없을 때 물체를 $v_0$ 속력으로 위로 던지면 최고점에 올라가는데 걸리는 시간과 다시 내려오는데 걸리는 시간은 동일하게 $t_{ff} = v_0/g$로 주어진다. 공기 저항이 있는 경우는 어떻게 될지 구체적으로 계산해보자.

반지름이 $R$인 공 모양의 물체가 속력의 제곱에 비례하는 공기 저항(끌림힘) $D= \frac{1}{2} C\rho_{air} A v^2 \approx  0.2 \rho_{air} \pi R^2 v^2$을 받을 때, 올라가는 동안 운동 방정식은 (물체가 받는 공기의 부력도 고려해야 하지만 여기서는 무시한다. 부력은 $g$을 약간 줄이는 효과를 만든다)

$$  m \frac{dv}{dt} = -mg -\ 0.2   \rho_{air} \pi R^2  v^2, $$

$$ \rightarrow  \quad \frac{dv}{dt} = -g (1 + \gamma^2 v^2) , \quad\quad  \gamma^2 =  0.2 \frac{\pi R^2 \rho_{air} }{mg} .$$

$\gamma$는 내려오는 과정에서 terminal speed의 역수를 의미한다. 시간에 대해 적분을 해서 속도를 구하면,

$$ v(t) = \frac{1}{\gamma} \tan \Big( -\gamma gt + \arctan(\gamma v_0) \Big)$$

최고점에 도달하는데 걸리는 시간은 $v(t_{up})=0$ 에서

$$ t_{up} = \frac{1}{\gamma g} \arctan(\gamma v_0) = \frac{v_0}{g} \Big(1 - \frac{(\gamma v_0)^2}{3}+....\Big) $$

로 주어지므로 공기저항이 없을 때보다 더 짧다. 최고점의 높이는

$$ h_{max} = \int_0^{t_{up}} v(t) dt = \frac{1}{\gamma^2 g} \ln \sqrt{ 1 + (\gamma v_0)^2 } =\frac{v_0^2}{2g} \Big( 1- \frac{(\gamma v_0)^2}{2 }+...\Big)$$

로 주어지므로 역시 공기 저항이 없을 때보다 낮다.

 

다시 내려오는 과정에서 중력과 끌림힘이 반대방향이므로 운동 방정식은

$$ \frac{dv}{dt}= -g (1 -\gamma^2 v^2)$$

로 주어지고, 이를 적분하면 (출발 시간을 $t=0$으로)

$$ v(t) = -\frac{1}{\gamma} \tanh (\gamma g t)$$

이를 다시 적분하면 낙하시간에 따른 높이를 얻을 수 있다: $h(0)=h_{max}$

$$ h(t) = \frac{1}{\gamma^2 g} \ln \frac{ \sqrt{ 1+ (\gamma v_0)^2 } }{ \cosh( \gamma gt)}$$

따라서 바닥에 떨어지는데 걸리는 시간 $t_{dn}$은: $ h(t_{dn}) = 0$

$$t_{dn} = \frac{1}{\gamma g}\text{arccosh}\sqrt{1+(\gamma v_0)^2} =\frac{1}{\gamma g} \ln \left(\gamma v_0 + \sqrt{1+ (\gamma v_0)^2 } \right) = \frac{v_0}{g}\Big( 1  -  \frac{ (\gamma v_0)^2 }{6}+...\Big)$$

 

두 시간을 비교해보면 위로 던져진 물체가 최고점에 올라가는데 걸리는 시간보다 다시 내려오는데 걸리는 시간이 더 길다는 것을 볼 수 있다:

$$ {t_{dn} - t_{up}} \approx  \frac{(\gamma v_0)^2}{6} t_{ff}$$

 

$v_0 =10\text{m/s}$로 ($\rightarrow t_{ff} = 1.02\text{s}$, $v_{terminal} \approx 36.6\text{m/s}$) 야구공을 공중으로 던지는 경우를 예로 들면, 차이는 대략 0.013초 정도로 계산된다. 던지는 속력이 종단속력에 가깝거나 더 크면 근사식을 사용할 수 없고 정확한 계산식을 이용해야 한다.

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진자의 주기와 진폭

Physics 2021. 1. 18. 11:49
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진자의 주기를 구할 때 보통 작은 진동 근사를 사용한다. 진자의 진폭이 크지 않는 경우 주기는 진폭에 무관하게 일정한 값 $T=2\pi \sqrt {\frac {\ell}{g}}$를 갖는다. 그럼 진폭이 커지는 경우는 어떻게 될까?

운동 방정식을 써도 되지만 역학적 에너지가 보존되므로 이를 이용하면(회전 관성: $I=m\ell^2$, 진폭=$\theta_0$)

$$ \frac {1}{2} I \Big(\frac {d\theta}{dt}\Big)^2 + mg \ell (1 - \cos\theta)=const= mg\ell (1- \cos \theta_0) \\  \rightarrow \quad \Big(\frac {d\theta}{dt} \Big)^2  =\frac {2g}{\ell} (\cos \theta- \cos \theta_0).$$

우변을 $\theta_0, ~\theta$에 대해서 전개하면

$$ \Big( \frac { d\theta}{dt } \Big)^2   = \frac {g}{\ell}\Big(\theta_0^2 -\frac {1}{12} \theta_0^4 - \theta^2 + \frac {1}{12} \theta^4+...\Big) =\frac{g}{\ell}(\theta_0^2 -\theta^2) \Big( 1 - \frac{1}{12} (\theta_0^2 + \theta^2)+...\Big)$$로 써지는데 작은 각 근사를 벗어났을 때 가장 큰 기여를 하는 $-(\theta_0^2 + \theta^2 ) /12$항이  음의 기여를 한다. 이는 같은 위치에서 작은 각 근사를 할 때보다 각속도가 더 작아짐을 의미한다. 따라서 진자가 더 느리게 움직여서 주기가 길어질 것이라는 예측을 구체적인 계산 없이도 할 수 있게 된다.

 

이제 주기를 구해보자. 에너지 보존식에서 변수 분리를 해서 적분하면

$$T = \int dt = 4 \sqrt {\frac {\ell}{2g}} \int_0^{\theta_0} {\frac {d\theta}{\sqrt {\cos \theta - \cos \theta_0}}}$$을 얻는다. 여기서 $\sin(\theta/2) = \sin (\theta_0/2) \sin(\varphi )$로 치환을 하면

$$T = 4\sqrt { \frac { \ell }{g}} \int_0^{\pi/2} {\frac {d \varphi}{\sqrt {1 - k^2 \sin^2 \varphi}}}, \quad k^2 = \sin^2(\theta_0/2).$$

진폭이 작은 경우($\theta_0  \ll 1 ~\rightarrow k=0)$는 적분 값이 $\frac {\pi}{2}$이므로 $T = 2\pi \sqrt {\frac {\ell}{g} }$가 됨을 확인할 수 있다.  위 적분은 타원 적분이라고 부르고 $k$가 주어지면 수치 연산을 통해서 그 값을 얻을 수 있다. 

 

좀 더 직관적으로 진폭에 따른 주기의 변화를 보기 위해서 (진자의 경우 $k^2 \le \frac {1}{2}$이므로) 급수 전개를 하면, 

$$\frac {1}{\sqrt {1-k^2 \sin^2\varphi}}   = 1 +\frac {1}{2} k^2\sin^2 \varphi +\frac {1}{2}\frac {3}{2} k^4 \sin^4 \varphi +\dots $$

이므로 주기는 

$$T = 2\pi \sqrt { \frac {\ell}{g} } \left [ 1 + \Big( \frac {1}{2} \Big)^2 k^2 + \Big( \frac {1}{2} \frac {3}{4} \Big)^2 k^4 + \dots \right]$$

로 표현된다. 이 식은 진자의 진폭이 커지면 주기도 길어진다는 것을 명확히 보여준다.

 

강의동영상을 볼 수 있는 곳:

youtu.be/34zcw_nNFGU

 

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지구가 물체에 작용하는 중력의 세기는 지구의 중심(무게중심)에서 거리의 제곱에 반비례하게 작용한다. 컵 속에 각설탕을 넣는다고 하자. 각설탕은 지구 중력과 컵 중력을 받고 아래로 내려가지만 컵의 무게중심에 가까워질수록 거리가 작아지므로 컵이 작용하는 중력이 매우 커지게 된다. 각설탕이 어찌어찌해서 컵의 무게중심에 매우 가까운 아래쪽 적당한 위치에 도달하는 경우(B:경우) 위쪽으로 작용하는 컵의 중력이 아래쪽으로 작용하는 지구의 중력을 상쇄할 수 있다. 이 경우 각설탕은 무게중심 약간 아래쪽에서 떠있어야 하는데 이런 현상은 누구도 본 적이 없다. 왜 그럴까?

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두 바스켓이 움직이지 않으면(예를 들면, 양쪽 줄을 서로 묶어서) 용수철 저울의 눈금은 3kg으로 나올 것이다(도르래, 줄의 무게 무시). 두 바스켓이 움직임을 시작하면 용수철 저울의 눈금은 

1. 3kg 

2. 3kg 보다 크다.

3. 3kg 보다 작다.

 

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태양계의 행성 운동에서 각운동량은 보존이 된다(Kepler의 제2법칙). 이는 태양이 행성에 작용하는 힘인 만유인력이 중심력의 형태를 띠고 있기 때문이다. 식으로는 태양에서 행성까지 위치 벡터를 $\vec {r}$이라면 태양이 행성에 작용하는 만유인력은 $\vec {F} = \frac {GMm}{r^3}\vec {r}$로 쓸 수 있으므로 만유인력이 만드는 토크가 $\vec {\tau} = \vec {r}\times \vec {F}=0$임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 각운동량 보존은 자명해진다.

만약 행성의 위치를 재는 원점을 태양이 아니라 다른 지점으로 잡으면 어떻게 될까? 이 경우 만유인력의 방향과 위치 벡터의 방향이 나란하지 않으므로 토크가 0이 안된다. 그럼 각운동량은 원점을 어디로 잡는가에 따라 보존되기도 하고 안되기도 하는 물리량일까? 무엇을 놓치고 있는 것일까?

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사람이 걷는 동작은 복잡하지만 몇 가지 가정을 하면 단순한 강체의 운동으로 근사를 할 수 있다. 우선 사람이 걷는 동안 항상 한 발은 땅을 딛고 있다. 그리고 땅을 딛고 있는 발을 기준으로 몸의 질량중심은 원호를 그리면서 거의 일정한 속도로 움직이게 된다. 사람을 질량중심에 모든 질량이 뭉친 점으로 근사를 하면 걷는 동작은 거의 질량이 없는 막대(다리: 길이=$L$)에 매달린 역진자(inverted pendulum) 운동과 비슷하다고 볼 수 있다. 또한 원호를 따라 중심이 이동하는 속력은 거의 일정하다고 근사할 수 있다.

이 경우에 질량중심은 등속 원운동을 한다고 볼 수 있고, 뉴턴의 제2법칙에 의해서 질량중심에서 발 쪽을 향하는 힘 성분이 구심력 역할을 한다. 구심력 역학을 할 수 있는 힘은 중력, 수직항력, 그리고 마찰력이 있다.

수직에서 $\theta$만큼 기울어졌을 때 등속원운동의 가속도 벡터는

$$ \vec{a} =\frac{V^2}{L} (-\sin \theta \hat{x} -\cos \theta \hat{y})$$

이고,  운동 방정식의 수식 성분을 보면 중력과 수직항력이 기여하므로

$$ \sum F_y = N - mg = m a_y = -\frac{m V^2}{L} \cos \theta $$

움직이는 속력이 너무 빠르면 달리는 동작이 되고, 이 경우 양발이 땅에서 떨어지게 된다. 발이 땅에서 떨어지지 않으려면  수직항력 $N\ge0$인 조건을 만족하도록 걷는 속력을 조절해야 한다. 

$$N \ge  0 \quad \rightarrow  \quad V \le  \sqrt{\frac{gL }{\cos \theta}}$$

원호를 그리며 움직이는 동안 이 관계가 성립해야 하므로 걷기가 가능한 최대속력은:

$$V_\text{max} = \sqrt{gL}$$

사람을 너무 단순화시킨 감은 있지만 왜 다리가 긴 사람이 더 빨리 걸을 수 있는지를 물리 법칙으로 추정할 수 있다는 것을 보여준다. 사람을 좀 더 복잡한 강체로 근사하더라도 $\sqrt{gL}$ 앞의 factor만 바뀔 것이다.  사람이 걷는 동안 땅을 딛지 않는 발은 약간 구부러진 상태로 엉덩이를 축으로 일종의 물리진자처럼 행동하는데 이를 이용해도 역시 같은 추정치를 얻을 수 있다.

 

다리 길이가 $L=1\text{m}$이면,  $V_\text{max}= \sqrt{(1 \text{m}) \times (9.8\text{m/s}^2)} = 3.13\text{m/s}=11.3\text{km/h}$. 경보 세계기록이 대략 $15\text{km/h}$이므로 합리적인 추정이 된다.

 

youtu.be/HypJY1XWkWY

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TAG 역학

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Center of Percussion

Physics 2021. 1. 8. 16:07
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야구 배트로 공을 칠 때 공을 맞추는 지점을 잘 선택하면 배트를 잡는 위치(회전축)의 움직임이 거의 없게(즉, 손이 충격을 안 받게) 만들 수 있다. 이는 배트가 힘을 받았을 때 운동이 질량중심과 같은 속도로 움직이는 병진 운동과 질량중심에 대한 회전운동의 합으로 표현되는 점을 고려하면 쉽게 이해할 수 있다. 배트의 각 지점의 실제 속도는 질량중심의 속도와 회전운동에 의한 속도의 벡터 합이므로 손잡이 부분에서 0인 조건을 만족되면 가능하게 된다. 이 경우 배트의 운동은 손잡이 위치에 대한 순수 회전운동으로 표현할 수 있다. 그리고 공을 맞추는 지점을 center of percussion(COP)이라고 한다(손잡이 위치에 대한 상대적 위치임)

공이 배트에 준 힘을 $F$라면 (손이 준 힘이 없는 조건에서)

$$\text {cm-병진}:  ~F = M a,$$

$$\text {cm-회전}: ~Fb = I_{cm} \alpha. $$

손잡이 지점의 가속도가 없는 조건을 쓰면

$$ a_{손잡이}= a- \alpha p = 0\quad \rightarrow ~ \frac {F}{M} = \frac {Fb} {I_{cm}} p \quad \therefore b =  \frac {I_{cm}}{pM}.$$

$b$와 $p$는 정확히 대칭적 역할을 한다. COP 지점을 손으로 잡고 원래 손잡이 위치에 공을 맞추어도 손에 충격이 오지 않는다.

회전관성을 직접 구하지 않고 어떻게 COP을 알아낼 수 있을까? 손잡이나 그것의 COP 지점을 회전축으로 해서 배트를 진동시키면 일정한 주기를 갖고 진동을 한다(물리 진자). 이때 진동의 주기는

$$ T ={2\pi} \sqrt{ \frac{I_{cm} + M p^2 }{ Mgp}} = 2\pi \sqrt{\frac{b+p}{g}} .$$  

이 값은 길이가 $\ell=b+p$인 단순진자의 주기와 같다. 따라서 단순 진자의 길이를 바꾸면서 배트의 주기와 비교해서 같아지는 경우를 찾으면 된다(배트의 질량중심은 균형을 이용하면 쉽게 찾을 수 있다)

https://youtu.be/Dw3UpKQVhVY

 

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천칭(양팔 저울)의 양쪽 팔에 올려진 두 물체의 무게가 같아야 수평으로 균형을 잡는다. 물체의 무게 차이가 생기면 무거운 쪽으로 조금 기울인 상태에서 정지한다. 그리고 차이가 클수록 더 많이 기운다. 천칭은 양쪽 팔에 오려진 물체의 무게가 만드는 토크를 비교하는 장치로 더 큰 토크를 작용하는 쪽으로 기울게 된다. 천칭 팔이 기울어져도 무게가 큰 쪽이 항상 더 큰 토크를 만들므로 물리 관점에서 보면 팔이 수직이 될 때까지 회전을 해야 한다. 그런데 실제로는 조금 기운 상태에서 정지하는 것을 볼 수 있다. 왜 그런가?(축에 기름칠을 잘 해도 마찬가지이므로 마찰 때문은 아니다)

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용수철 상수 $k$인 용수철에 질량 $m$인 물체를 매달면 길이가 $\ell$만큼 늘어난 위치까지 내려간다. 이 과정에서

1. 중력 위치에너지는 $mg\ell$ 만큼 감소한다. 

2. 용수철은 늘어났으므로 탄성 위치에너지가 $\frac{1}{2} k \ell^2$ 만큼 증가한다.

3. 늘어난 위치에서 "중력 = 탄성력" 이므로 $mg = k \ell$이어야 한다.

4. 증가한 탄성 위치에너지를 다시 정리하면, $\frac{1}{2} k\ell^2 = \frac{1}{2} (k \ell) \ell = \frac{1}{2} mg \ell$이다.

증가한 탄성 위치에너지가 감소한 중력 위치에너지의 절반밖에 안된다!!! 나머지는 어디로 갔을까? 에너지가 보존이 안되는 것일까?

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  1. hgmhc 2021.01.07 17:40 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    장력으로 작용하려나...

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오른쪽으로 v의 속력으로 와서 벽에 충돌한 후 왼쪽으로 v 속력으로 나가는 경우 충돌 전과 후의 역학적 에너지는 같다. 같은 상황을 오른쪽으로 일정한 속력  v로 달리는 사람이 보면 처음 공은 정지해 있다가 충돌 후 왼쪽으로 2v의 속력으로 움직이게 된다. 이 관찰자 입장에서 보면 역학적 에너지가 보존이 안된다? 역학적 에너지 보존은 관찰자에 따라 달라지는 개념인가? 그럴까?

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  1. hgmhc 2020.12.30 15:05 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    A요!
    벡터 분해를 생각하면 그럴 것 같습니다!

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4개의 회전체가 경사면 위 같은 높이에서 출발한다. 미끄러짐이 없는 경우 바닥에 먼저 도착하는 물체는?

1. A

2. B

3. C

4. D

5. 동시에

6. 정보 부족

 

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  1. hgmhc 2020.12.30 15:23 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    안과 밖의 밀도차가 극명하게 나는 D가 답일 것 같습니다.

얼마나 늘어날까?

Physics 2020. 12. 24. 11:28
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오른쪽 물체를 일정한 힘 $F$로 당기면 용수철은 얼마까지 늘어날 수 있을까? 단, 당기기 시작할 때 두 물체는 정지상태이고 용수철은 늘어나거나 압축되지 않았다.

1. $F/4k$

2. $F/2k$

3. $F/k$

4. $2F/k$

5. 용수철이 끊어지기 전까지 늘어날 수 있다.

더보기

두 물체의 질량중심 좌표계에서 일-에너지 정리를 사용해도 되지만, 직접 운동 방정식을 푸는 방법을 사용하면

$$m \ddot{x}_1 = -k (x_1 - x_2), \quad m\ddot{x}_2 = - k (x_2 - x_1) +F.$$

두 물체의 상대좌표 $x=x_2 -x_1$에 대한 방정식은

$$ \ddot{x}= - \frac{2k}{m} x + \frac{F}{m}.$$

용수철의 자연 길이가 $\ell_0$면  이 방정식의 해는 ($x(0)=\ell_0,~\dot{x}(0)=0$)

$$ x(t) = \ell_0 + \frac{F}{2k}(1- \cos (\sqrt{\frac{2k}{m}}t))$$

이므로 $\max(|x-\ell_0|)= F/k$.

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천장에 연결된 줄이 끊긴 직후 위쪽 물체의 가속도는?

1. $0$

2. $g/2$

3. $g$

4. $\sqrt{2}g$

5. $2g$

https://www.youtube.com/watch?annotation_id=annotation_314765&feature=iv&src_vid=eCMmmEEyOO0&v=uiyMuHuCFo4

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  1. hgmhc 2020.12.22 23:14 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    2...g..인가요?

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용수철로 연결된 두 물체를 그림처럼 세워두면 위쪽 물체의 무게 때문에 용수철이 약간 압축이 된다. 이 상태에서 손으로 밀어 좀 더 압축한 후 손을 떼면 위쪽 물체가 위로 솟구쳐 오르게 되는데 압축이 많이 된 경우에는 아래쪽 물체까지 바닥에서 떨어지는 경우가 있다. 얼마나 압축하면 그럴까?

더보기

손으로 누르기 전에는 위쪽  물체의 무게 때문에 용수철은 원래 길이에서 $mg/k$만큼 아래로 압축이 된다. 여기에 추가로 $A$만큼 누른 후 손을 떼면 위쪽 물체는 처음 압축 위치를 기준으로 위-아래로 진동을 한다. 아래 물체가 받는 힘은 자체 무게, 용수철이 누르거나 당기는 힘 그리고 바닥이 주는 수직항력이다. 아래 물체가 바닥에서 떨어지지 않으려면 수직항력이 0보다 커야 한다. 중력은 항상 일정하므로 수직항력이 가장 작아지는 경우는 용수철이 원래의 길이보다 늘어나는 경우로 위쪽 물체가 최고 높이에 있을 때이다.  바닥에서 떨어지지 않는 경우 아래 물체에 작용하는 알짜힘 = 0 이므로

\begin{gather}\sum F_y = F_N -mg + k(A-mg/k)=0  \\ F_N = 2mg - kA \\ F_N > 0 \quad\rightarrow \quad A < {2mg}/{k}\end{gather}

따라서 아래 물체가 바닥에서 떨어질 조건은 $A\ge 2mg/k$. 

 

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고정 회전축에 걸린 원판 둘레에 실이 감겨있고 실끝에 연결된 물체는 속도 $v$로 움직인다. 실이 팽팽해지는 순간 물체의 속력은?

1. $v/2$

2. $v/3$

3. $2v/3$

3. 정보부족

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위쪽 물체를 일정한 속도로 위로 당기다 보면 용수철로 연결된 아래쪽 물체가 어느 순간 바닥에서 떨어진다. 그런데 너무 빠르게 당기면 아래쪽 물체가 나중에 위쪽 물체와 부딪칠 수 있다. 당기는 속도가 얼마일 때 이런 현상이 가능한가? 압축된 용수철의 길이는 $L$이고, 용수철은 완전히 압축될 수 있다고 가정한다.(고무줄로 생각하면 된다)

힌트: 위쪽 물체와 같이 일정하게 위로 움직이는 관찰자 입장에서 생각하는 것이 쉽다.

 

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속도 $v$의 총알($m$)을 각각 길이 $L$인 줄에 매달린 물체($M$)와 길이 $L$인 막대($M$) 끝을 향해 발사했다. 총알은 물체와 막대에 박힌 후 함께 운동한다. 두 물체가 올라갈 수 있는 최대 높이는 (수직에 대해서 기울어진 최대각) 어느 쪽이 더 높은가? 단, 막대를 지탱하는 회전축에 마찰은 없다.

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일정한 속력 $v$로 움직이는 컨베이어 벨트 위로 질량 $m$인 상자가 떨어진다. 상자를 컨베이어 벨트와 같은 속력으로 움직이게 만드는 동안 컨베이어 벨트의 모터가 한 일에 대한 다음 두 주장 중 옳은 것은?

성소: 컨베이어 벨트와 상자 사이의 마찰($F$)에 의해서 상자가 움직이는데, 상자가 속력 $v$가 되는 동안 움직인 거리가 $v^2-0=2ax=2(F/m) x$에서 $x= mv^2/(2F)$이므로, 한 일은 $W=Fx=mv^2/2$이다.

설현: 떨어진 상자의 속력이 $v$로 되는데 걸리는 시간이 $t=v/a=mv/F$고, 그동안 컨베이어 벨트는 일정한 속력 $v$로 움직이므로 벨트의 이동거리는 $d=vt=mv^2/F$다. 따라서 한 일은 $W=Fd=mv^2$이다.

벨트와 같이 움직이는 관찰자는 어떻게 생각할까?

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  1. hgmhc 2020.11.23 18:18 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    성소가 맞는 것 같슴다..!
    캐릭터 선정이 한결 같으시네요 ㅋㅋ

추의 속력은?

Physics 2020. 11. 20. 09:58
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높은 천정에 고정된 5 미터 줄의 반대편 끝에 추를 매달고 그림과 같은 위치에서 낙하시킨다. 줄이 팽팽해지는 직후 추의 속력은(m/s)?

1. $\sqrt {8g}$

2. $\sqrt {10g}$

3. $\frac {3}{5}\sqrt {8g}$

4. $\frac {3}{5}\sqrt {10g}$

더보기

수직 아래로 4m를 내려오는 동안 추는 자유낙하를 한다. 이때 속도는 아래 방향이고 크기는 $v=\sqrt {2g\times 4}=\sqrt {8g}$다. 줄이 팽팽해지면 줄 방향으로는 순간적으로 충격력이 주어지고, 이 때문에 줄 방향 성분은 0이 된다. 줄에 수직인 방향 성분은 충격력이 없으므로 그대로 남아서 $v_\bot=\frac {3}{5}\sqrt {8g}$

Q2: 줄이 팽팽해진 이후 추는 처음 높이까지 다시 올라갈 수 있을까?

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10명의 몸무게가 같은 사람이 지붕이 없는 정지한 열차에 타고 있다. 열차와 레일 사이의 마찰은 무시할 수 있다. 사람들은 열차 위에서 달리기를 하여 뒤쪽으로 뛰어내린다. 각 사람이 뛰어내리는 속도는 열차 위에서 볼 때 $u$로 일정하다.(열차에 대한 상대속도가 일정) 어떤 방식으로 뛰어내려야 열차의 최종 속도가 가장 빠를까?

1. 10명이 동시에 뛰어내린다.

2. 1명씩 차례로 뛰어내린다.

3. 차이 없다.

더보기

풀이: 사람의 질량을 $m$, 열차의 질량을 $M$로 놓고, 한꺼번에 뛰어내리는 직 후 열차의 속도를 $V$라면, 사람의 속도는 $V-u$이다(지상 기준). 운동량이 보존되므로

$$ 0 = MV + Nm(V-u)\quad \rightarrow \quad V = \frac{Nm}{M+Nm}u$$. 

순차적으로 뛰어내리는 경우: 열차에 n명의 사람이 남아 있을 때 속도를 $V_n$이라면($V_N=0$), 한 명이 추가로 뛰어 내려면 열차의 속력은 $V_{n-1}$이고 되고(이때 사람의 속도는 $V_{n-1}-u$(지상 기준)), 이 과정에서 운동량 보존을 적용하면

$$ (M+ nm)V_n = (M + (n-1) m) V_{n-1} + m(V_{n-1}-u)$$

$$ \therefore V_{n-1}=V_n + \frac {m}{M+nm} u$$

따라서 0명이 남았을 때 속도 $V_0$는

$$V_0 = V_N + \frac{m}{M+Nm}u + \frac {m}{M+(N-1) m} u +\cdots+\frac{m}{M+m}u=\sum_{k=1}^{N} \frac{m}{M+ km}u$$

이어서 $V_0 >V$임을 알 수 있다. 

 

구체적인 계산없이 정성적으로 설명할 수 있는가?

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  1. hgmhc 2020.11.18 14:48 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    머리로 생각했을 때에는 1번일 것 같다는 느낌이 들었는데, 실제로 수식으로 증명해봐도 1번이 답으로 보입니다.
    맞나요????

동전이 회전한 각은?

Physics 2020. 11. 15. 10:01
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100원짜리 동전을 다른 고정된 100원짜리 동전 둘레를 따라 굴린다. 처음 출발 위치로 돌아왔을 때 얼마의 각을 회전한 것일까?

1. $\pi$

2. $2\pi$

3. $3\pi$

4. $4\pi$.

참고: en.wikipedia.org/wiki/Coin_rotation_paradox

구르는 동전의 운동 에너지는 어떻게 표현될까?

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  1. hgmhc 2020.11.16 19:23 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    2. 2𝜋임당!

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매끄러운 표면에서 그림과 같이 일정한 힘($F$)을 반지름이 $R$인 물체에 작용한다(둘레에 실이 감겨있고, 이 실을 일정한 힘으로 당긴다). 물체가 미끄러짐이 없이 구른다면 가능한 것은?

1. 원판(disk)

2. 링(ring)

3. 실린더(solid cylinder)

4. 공(hollow sphere)

5. 다 가능하다 

6. 다 불가능하다.

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사슬의 낙하나 당김 문제는 뉴턴의 운동법칙을 잘 이해하고 있는가를 테스트하기에 좋은 예를 제공한다. 한쪽 끝이 고정된 상태에서 사슬 뭉치를 떨어뜨리면 사슬은 떨어지면서 풀리게 된다.(사슬고리 사이의 마찰은 무시한다) 사슬이 다 풀리기 직전 끝을 잡고 있는 손에 걸리는 힘은? 물론, 사슬이 완전히 정지한 후에는 사슬의 무게만큼 힘이 걸린다.

 

사슬 뭉치는 떨어지는 동안에는 자유낙하를 한다. 떨어지는 거리를 $y$(아래 방향+), 속도를 $v$라면,

$$y= \frac {1}{2} gt^2,\quad v=gt$$

이고 다 떨어지는 데 걸리는 시간은 $t_1 = \sqrt {2L/g}$이다.

끝에서 지탱하는 힘의 크기를 $f(t)$라면, 사슬 전체의 운동 방정식은

$$\sum F_y = mg - f(t) = \frac {dp}{dt}$$

떨어지는 동안 사슬의 운동량은 움직이는 부분의 질량이 $m'=m - \frac {1}{2} gt^2 \lambda$이므로 $p = m'v =\lambda (L- \frac {1}{2} gt^2)(gt)$로 주어진다. 따라서, 다 풀리기 직전에 지탱하는 힘(위쪽 방향)의 크기는

$$ f(t=\sqrt {2L/g}) = mg - m ( g - 3 g) = 3mg$$.

직관적으로는 떨어지는 사슬 뭉치에서 $dm$만큼의 질량이 풀리면 이 부분의 속도가 $v \rightarrow 0$으로  변한다. 따라서 운동량의 변화도 $dp = (dm) (0-v) = -vdm$ (-=위쪽 방향). 이 운동량에 변화를 일으키는 힘은 사슬을 통해서 전달되는 충격력이다(사슬은 중력도 같이 받고 있지만, 중력은 nonimpulsive 힘이므로 순간적으로 물체를 정지시키는 작용을 하지 못한다). 뭉치에서 풀려 정지하는 질량은 $dm= \lambda dy = \lambda v dt$이고, 다 풀리는 순간 속력 $v=\sqrt {2gL}$이므로, $dp = \lambda v^2 dt = 2mg dt$. 따라서 사슬 끝이 주어야 할 충격력은 $2mg$이고 여기에 사슬 자체의 무게를 더하면 사슬 끝에서 지탱해야 할 힘이 나온다.

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매끄러운 수평 바닥에 놓인 3개의 동일한 막대를 일정한 힘 $F$로 (아주 짧은) 거리 $d$만큼을 밀었다. 이후 막대 중심이 움직이는 속력이 제일 큰 막대는?

1. A

2. B

3. C

4. 모두 같다.

 

 

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마찰력의 방향은?

Physics 2020. 11. 3. 10:14
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상자를 벽에서 떨어지지 않게 밀고 있다(팔 방향으로 힘 작용). 상자에 작용하는 마찰력의 방향은?

1. 위쪽

2. 아래쪽

3. 알 수 없다.

 

 

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  1. hgmhc 2020.11.03 15:40 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    3, 알 수 없다!!

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회전축에 대해서 자유롭게 진동할 수 있는 막대가 있다. 막대의 끝에 원판을 덧붙이는데, (A)의 경우 원판이 중심축에 대해서 자유롭게 회전할 수 있지만, (B)의 경우는 고정되어 있다. 막대를 진동시킬 때 주기가 더 긴 쪽은?

1. A

2. B

3. 같다.

4. 막대의 모양과 원판의 크기에 따라 달라질 수 있다.

* 강체의 에너지 관점에서 접근하면 복잡한 과정 없이도 답을 추론할 수 있다.

 

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마찰력의 방향은?

Physics 2020. 11. 1. 19:49
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바퀴가 경사면을 미끄러짐이 없이 구르면서 올라가고 있다. 이때 바퀴에 작용하는 마찰력은 정지 마찰력이다. 정지 마찰력의 방향은?

1. 경사면 아래쪽: 위로 올라가는 속도가 줄어야 하므로

2. 경사면 위쪽: 반시계 방향 회전이 줄어야 하므로

3. 바퀴의 회전 관성에 따라 다르다.

 

 

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두 물체를 양쪽으로 잡아당겨 용수철을 늘린 후 동시에 마찰이 없는 바닥에 놓는다. 두 물체가 같은 값을 갖는 물리량은?

1. 속력($v$)

2. 가속도 크기($a$)

3. 운동량 크기($mv$)

4. 운동에너지($\frac {1}{2} m v^2$)

5. 이 중에는 없다.

 

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  1. so8286 2017.02.04 08:02  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    처음에 정지해있었으니깐 운동량의 크기는 같지만 반대가 아닐까 싶네요 답은 3 맞나요? 아근데 긍금한게 만약 용수철을 x만큼 늘리면 둘다 kx 만큼의 탄성복원력을 받게된다고 생각하는게 맞나요?

    • helloktk 2017.02.04 11:19 신고  댓글주소  수정/삭제

      용수철을 x만큼 늘리면(압축하면) 용수철의 양쪽 끝에서는 각각 kx의 크기로 안쪽(바깥쪽)으로 잡아당깁니다. 벽에 고정된 용수철을 x만큼 늘리려면 반대편 끝에서 kx의 힘을 주어야 하고, 벽도 kx만큼 힘을 주어야 한다는 사실을 생각하면 이해할 수 있을 것입니다. 질문의 답은 다른 관심있는 사람들을 위해서...

  2. 2017.02.04 19:55  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    비밀댓글입니다

  3. 2019.04.19 00:54  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    비밀댓글입니다

말과 마차

Physics 2016. 2. 15. 15:26
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마부가 말에게 "이럇"하고 말할 때, 말이

"뉴턴의 제3법칙에 의하면 내가 수레를 앞으로 당기면 그 반작용으로 수레가 나를 같은 세기 힘으로 뒤로 당겨서 나와 수레가 받는 알짜힘이 0이 되므로 앞으로 가속을 할 수 없다.  

따라서 괜히 힘을 쓸 필요가 없지 않을까요" 라고 거부하면 마부는 어떻게 반박을 해야 할까?

가능한 답 중에 하나는 "매를 번다"임...

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  1. 1466981592 2016.06.27 07:53  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    알찬 정보 좋네요~