막대와 같이 회전하는 고리가 끝에 도달했을 때

그림처럼 회전축 가까이에 고리(질량 $m$)가 끼워져 있는 매끄러운 막대(길이 $L$, 질량 $M$)가 있다. 고리가 축 쪽에 있을 대 막대가 $\omega_0$의 각속도로 움직인다. 고리는 이후 막대와 같이 회전하면서 막대의 끝쪽으로 밀려나가는데, 막대 끝에 도달했을 때

1. 고리의 속력은?

2. 고리가 막대로 부터 받는 수직항력은?

 

풀이: 각운동량이 보존되므로 고리가 끝에 도달했을 때 각속도 $\omega$는 

$$ L_i = \frac {1}{3} ML^2 \omega_0  = \left( \frac {1}{3} ML^2 + mL^2 \right) \omega= L_f  ~~~\to ~~~\omega =  \frac {\omega_0}{1+ 3 m/M}$$

고리는 회전과 동시에 막대방향으로 나가는 속도(radial velocity$=u$)를 가진다. 역학적에너지 보존을 이용하면

$$ \frac{1}{2}\frac{1}{3}ML^2\frac {1}{2}\frac {1}{3} ML^2 \omega_0^2 = \frac {1}{2}\frac {1}{3} ML^2 \omega^2 + \frac {1}{2} m \left( (L\omega)^2 + u^2\right) ~~~\to~~~ u = \frac {L\omega_0}{\sqrt {1+ 3m/M}}$$

이므로 고리의 속력은 

$$ v= \sqrt{ (L\omega)^2 + u^2 } = L\omega_0\frac {\sqrt {2+ 3m/M}}{ 1+ 3m/M}$$

이 순간 막대의 회전각가속도는 막대가 고리에 주는 수직항력을 $N$이라면 막대의 회전축에 대한 운동방정식은

$$ -NL= \frac{1}{3}ML^2 \alpha~~~\to~~~\alpha = -\frac {3N}{ML}$$

고리의 운동방정식은 회전과 동시에 radial 운동을 하므로 가속도는

$$\vec {a} = (\ddot {r} - r\dot{\theta}^2 ) \hat{r} + (2\dot{r}\dot{\theta} + r \ddot{\theta})\hat{\theta}$$인데 고리가 받는 radial 방향의 힘은 없고, 접선방향 힘은 수직항력이므로 운동방정식은

$$  \ddot{r} = r \dot {\theta}^2~~~~\text{and}~~~~ m( 2\dot{r} \dot{\theta} + r\ddot {\theta}) = N$$이 방정식의 해를 구할 수도 있지만 우리의 관심은 고리가 막대 끝에 도달했을 때($r=L$)이고, 이 경우 $\dot {r} =u$, $\dot {\theta} = \omega$, $\ddot {\theta} = \alpha$이므로

$$ N = \frac {2m u \omega}{1+ 3m/M}= \frac {2mL\omega_0^2}{ (1+3m/M)^{5/2}}$$