가벼운 막대로 연결된 두 물체가 그림처럼 $v_0$ 속력으로 바닥에 탄성충돌을 한다($\theta = 30^\circ$). 충돌 직후 질량중심의 속도는?

1. $\frac{1}{7}v_0$

2. $\frac{2}{7}v_0$

3. $\frac{3}{7}v_0$

4. $\frac{4}{7}v_0$

 

오른쪽 물체는 언제 바닥에 충돌하는가?

 

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풀이: 

충돌하는 왼쪽 물체를 기준으로 잰 각운동량은(충돌 시 왼쪽 물체가 바닥에서 받은 impulsive force에 의한 토크 기여가 없는 지점) 충돌 직전/직후 보존된다(중력은 non-impulsive이므로 충돌 직전-직후의 각운동량에 영향을 주지 못한다). 충돌 직후 질량중심의 위쪽 방향 속도를 $v$, 질량중심에 대한 시계방향 회전 각속도를 $\omega$라 하면,

$$ L_i = L_f:~~(2m) v_0 \frac{L}{2} \cos \theta = (2m)(-v)\frac{L}{2} \cos \theta + \frac{mL^2}{2} \omega$$

탄성충돌이므로 충돌 직전과 충돌 직후(cm 이동 + 회전) 바닥에 대한 상대속도의 크기는 같아야 한다:

$$v_0 = \text{cm-vel} + \text{rot about cm} = v + \frac{\omega L}{2} \cos \theta $$

둘을 정리하면, 

$$ v=v_0 \frac{\sin^2\theta}{1+\cos^2 \theta}$$

$$\omega = \frac{4v_0}{L} \frac{\cos \theta}{1+\cos^2 \theta}$$

 

 
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볼링공(반지름: $R$, 회전관성: $\frac{2}{5} mR^2$)이 굴러가다가 턱에 부딪치는 경우를 보자. 충돌이 비탄성적이라면 공은 턱(높이: $h$)을 기준으로 회전해서 턱 위로 올라갈 수 있다. 물론 부딪치기 직전 속도가 너무 작으면 오를 수 없고, 너무 크면 위로 튄다. 어떤 조건일 때 튀지 않고 턱 위로 올라갈 수 있을까?

1. 충돌 전후로 턱에 대한 각운동량이 보존되므로 충돌 직후 각속도 $\omega$는 충돌 전 속도($v$)를 알면 구할 수 있다.

$$ \omega=\frac{7}{2}\left(  1 - \frac{5h}{7R}\right) \frac{v}{R}.$$

2. 역학적 에너지 보존을 이용하면 공이 턱에 완전히 올라서기 위해서는 충돌 직후 각속도 $\omega$가  일정한 크기 이상이어야 한다:

$$ \omega  \ge \sqrt{\frac{10gh}{7R^2}}.$$

3. 충돌 후에는 공의 질량중심은 턱에 대해서 회전을 한다. 이때 구심력 역학을 하는 힘은 턱이 주는 수직항력($F_N$)과 이 수직항력 방향의 중력 성분($mg \cos \theta$)의 차이이다. 너무 빨리 회전하면 공이 턱에 붙어서 돌지 못하고 튕길 수 있다. 튀지 않고 회전하려면 어떤 조건이 들어오는가? 충돌 직후의 운동방정식이

$$mg \cos \theta -F_N = mR \omega^2$$

이므로 공이 튀지 않고, 즉 턱과 접촉을 유지하면서($F_N \ge 0$)  올라가기 위해서는 턱의 높이가 

$$ \frac{h}{R} \ge \frac{7}{17} \approx 0.41$$

을 만족해야 한다.

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태양계의 행성 운동에서 각운동량은 보존이 된다(Kepler의 제2법칙). 이는 태양이 행성에 작용하는 힘인 만유인력이 중심력의 형태를 띠고 있기 때문이다. 식으로는 태양에서 행성까지 위치 벡터를 $\vec {r}$이라면 태양이 행성에 작용하는 만유인력은 $\vec {F} = \frac {GMm}{r^3}\vec {r}$로 쓸 수 있으므로 만유인력이 만드는 토크가 $\vec {\tau} = \vec {r}\times \vec {F}=0$임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 각운동량 보존은 자명해진다.

만약 행성의 위치를 재는 원점을 태양이 아니라 다른 지점으로 잡으면 어떻게 될까? 이 경우 만유인력의 방향과 위치 벡터의 방향이 나란하지 않으므로 토크가 0이 안된다. 그럼 각운동량은 원점을 어디로 잡는가에 따라 보존되기도 하고 안되기도 하는 물리량일까? 무엇을 놓치고 있는 것일까?

 
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속도 $v$의 총알($m$)을 각각 길이 $L$인 줄에 매달린 물체($M$)와 길이 $L$인 막대($M$) 끝을 향해 발사했다. 총알은 물체와 막대에 박힌 후 함께 운동한다. 두 물체가 올라갈 수 있는 최대 높이가 (수직에 대해서 기울어진 최대각) 더 큰 쪽은? 단, 막대를 지탱하는 회전축에 마찰은 없다.

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