줄이 팽팽해진 직후 막대의 각속력은?

느슨한 줄로 천장에 매달린 막대(길이 $=\ell$)가 자유낙하를 하다가 속도가 $v_0$가 되었을 때 줄이 45도로 팽팽해졌다. 줄이 팽팽해진 직후 막대의 질량중심이 움직이는 속도와 회전 각속도는?

풀이:

줄이 팽팽해지는 순간 막대에는 위쪽 방향의 충격을 받는다. 이 충격으로 인해 질량중심의 속도($v_x$(:줄에 수직), $v_y$(:줄방향)에 변화가 생기고 또는 충격력에 의한 토크로 회전각속도($\omega$: 반시계방향)를 가진다. 줄이 묶인 지점을 축으로 순간회전하고, 이 축에 대한 impulsive torque가 없으므로(중력은 non-impulsive) 이 축에 대한 각운동량이 보존된다.

$$ L_\text{end} =\text{const}:~~( mv_0)\frac{\ell}{2}  =  I \omega + (mv_x) \frac{\ell}{2}\cos\theta  - (mv_y) \frac{\ell}{2} \sin\theta  $$

충격력이 줄방향으로만 작용하므로 줄에 수직인 운동량 성분은 보존된다.

$$ p_\bot=\text{const}:~~mv_0 \cos \theta = mv_x$$

줄이 팽팽해진 직후 줄에 연결된 끝은 순간적으로 회전운동을 하므로 줄방향 속도성분이 0이 되어야 한다.

$$ v_\parallel = v_y + \omega \frac{\ell}{2} \sin \theta=0$$

미지수 $v_x, v_y, \omega$ 3개에 식이 3개 제공되므로 풀 수 있고, 

$$ v_x = v_0 \cos \theta= \frac{v_0}{\sqrt{2}}\\ \omega \ell = \frac{6v_0\sin ^2 \theta}{1+ 3 \sin ^2 \theta} = \frac{6}{5} v_0\\ v_y = -\omega \frac{\ell}{2} \sin\theta = - \frac{3v_0}{ 5\sqrt{2}}$$