평면 위에 직선을 하나 그으면 영역은 두 개로 나뉜다. 따라서 직선이 하나일 때 영역의 개수는 $L_1 = 2$이다. 여기에 직선을 하나 더 추가할 때, 기존 직선과 평행하면 영역은 3개가 되지만 서로 교차하도록 그리면 $L_2 = 4$개의 영역이 만들어진다. 우리는 영역의 개수를 최대로 하는 경우를 생각하므로, 이후에는 항상 새로 추가되는 직선이 기존의 모든 직선과 서로 다른 점에서 만나도록 그린다.
세 번째 직선을 추가할 때도 마찬가지이다. 이 직선이 기존 두 직선과 각각 다른 점에서 만나고, 세 직선이 한 점에서 만나지 않도록 하면 새로운 직선은 두 번 교차하게 되고 그 결과 세 개의 새로운 영역이 생긴다. 따라서 이 경우 $L_3 = 7$이 된다.
이 과정을 일반화하면 다음과 같은 규칙을 얻을 수 있다. 이미 $n-1$개의 직선이 있을 때, $n$번째 직선을 추가하면 기존 직선들과 각각 한 번씩 만나므로 교점이 $n-1$개 생긴다. 이 교점들에 의해 새 직선은 $n$개의 선분으로 나뉘고, 각 선분이 하나의 새로운 영역을 만들어낸다. 따라서 전체 영역의 수는 이전보다 정확히 $n$만큼 증가한다. 이를 식으로 나타내면
\[ L_n = L_{n-1} + n \]이 된다. 초기값 $L_1 = 2$를 이용해 이 점화식을 전개하면 \[L_n = 2 + (2 + 3 + 4 + \cdots + n) . \]
즉, 평면 위에 직선 $n$개를 그었을 때 영역의 최대 개수는 \[ L_n = 1 + \frac{n(n+1)}{2} \]이다. 이 결과는 직선을 추가할 때마다 가능한 한 많이 교차시키되, 세 직선이 한 점에서 만나지 않도록 하는 조건에서 얻어진다.
지상에서 발사된 포탄은 중력의 영향으로 경로가 휘어지며 포물선을 그리면서 운동한다. 한 지점에서 같은 속력으로 임의의 방향으로 발사한다고 할 때, 그 포탄이 결코 도달할 수 없는 영역이 존재한다. 이 영역의 경계는 가능한 모든 포물선 궤적이 이루는 포락선(envelope)이 되며, 그 포락선이 역시 하나의 포물선이 됨을 어렵지 않게 보일 수 있다. 이를 3차원 공간으로 확장하면, 그 경계는 포물면(paraboloid)을 이룬다. https://kipl.tistory.com/464
이제 중력이 일정하지 않고, 중심으로부터의 거리에 대해 제곱에 반비례하는 경우까지 확장해 보자. 이 경우 발사체의 경로는 원뿔곡선(conic section)으로 표현된다. 발사 에너지가 탈출속도 이하라면 물체는 지구 중력을 벗어나지 못하므로 타원 궤도를 그리게 된다. 그렇다면 이러한 타원 궤도들의 bounding envelope는 무엇이 될까?
우선 발사 지점이 반드시 지표면일 필요는 없으며, 계산의 편의를 위해 지구를 점질량으로 생각하자. 이때 한 점에서 발사된 물체의 경로는 지구 중심을 한 초점 $F_1$으로 하는 타원이 된다. 발사 속력이 동일하므로, 발사각과 무관하게 역학적 에너지는 항상 같다. 따라서 물체가 그리는 타원 궤도의 장반경은 모두 동일하다. 타원의 구체적인 모양은 에너지와 각운동량에 의해 결정되는데, 에너지가 고정된 상황에서는 각운동량에 따라 이심률이 달라진다. 그에 따라 제2초점 $F_2$의 위치 역시 발사각(즉 각운동량)에 따라 달라지게 된다.
그런데 모양에 상관없이 물체가 그리는 타원은 발사위치($P$)를 통과해야 한다. 이 사실은 이용하면 제 2초점이 어떻게 분포하는지 알 수 있다. 타원의 정의에 따라 $\overline{PF_1} + \overline{PF_2}= \text{장축길이}=2a$를 만족시켜야 하는데, 발사위치가 고정되어 있으므로 $\overline{PF_1}$은 타원의 모양에 상관없이 지구반지름($R$)으로 일정하므로 $\overline{PF_2}$도 일정한 값을 가져야 함을 알 수 있다. 발사각에 따라 타원의 제 2초점의 위치는 변하지만, 발사위치에서 2 초점까지 거리는 일정한 거리만큼 떨어져 있다. 즉, 타원의 제 2초점은 발사위치를 중심으로 하는 원 위에 분포한다.
발사위치를 중심으로 2초점이 원을 그리게 타원을 회전시켜서 얻은 타원집합의 포락선도 타원임은 예측할 수 있지만 구체적으로 보이자. 포락선 상의 한 점 $X$를 고려하자. $X$는 발사지점($P$)을 중심으로 하는 원 위에 2 초점 $F_2$를 가지는 어느 타원에 속하는 점이다. $X$가 포락선에 있으려면 그 타원의 2 초점 $F_2$에 가장 가까이 있어야 한다. 그럼 2 초점 $F_2$는 어느 위치에 있어야 할까? $F_2$가 발사지점 $P$를 중심으로 하는 원 상에 있으므로 $P-F_2-X$가 일직선상에 배치되면 $\overline{X F_2}$가 가장 짧아진다. 이제 초점원의 반지름을 $r$이라면
$$\overline{XF_2} =\overline{XP}-\overline{F_2P} =\overline{XP}- r $$
그런데 $X$는 지구중심($F_1$)과 $F_2$을 초점으로 하는 타원상의 점이므로
$$ \overline{XF_1} + \overline{XF_2}= 2a$$을 만족하는데 위의 결과를 대입하면
$$ \overline{XF_1} + \overline{XP}- r = 2a$$임을 알 수 있다. 이는 포락선 상의 임의의 한 지점 $X$가 지구중심과 발사위치를 초점으로 하고 장축길이가 $2a+r$ 타원 위에도 있음을 보인 것이다. 즉, 포락선은 타원이 됨을 증명했다.
그럼 이 포락타원의 장축과 이심률을 구해보자. 우선 포락선이 지구중심에서 가장 멀어 떨어진 위치를 찾자. 이 경우는 물체를 위로 똑바로 발사하는 경우이고 물체는 최고점까지 올라갔다가 다시 떨어지는 직선운동을 한다. 직선운동은 완전히 찌그러진 타원으로 최고점과 지구중심이 두 초점이 된다. 지구 중심에서 최고점까지 거리를 $r_\text{max}$라면
점질량의 별이 있고 별의 중심에서 일정한 거리만큼 떨어진 한 지점에서 같은 거리만큼 떨어진 다른 지점으로 가는 마찰이 없는 경로가 만들어졌다고 하자. 경로가 어떤 모양일 때 최단시간으로 갈 수 있을까? 그리고 임의의 두 지점(별에서 같은 거리만큼 떨어진)을 연결하는 경로가 가능할까?
일반적으로 두 지점 사이의 사잇각($\Delta\theta$)이 커질수록, 물체는 중력을 가속도로 활용하기 위해 별의 중심에 가깝게 접근하는 경로를 택할 것이다. 별에 가까워질수록 중력이 강해져 속력이 빨라지므로, 경로는 중심을 향하는 직선에 가까운 형태가 된다. 그러나 목적지에 도달하기 위해서는 다시 중심에서 멀어져야 하며, 이 과정에서 경로가 급격히 휘어져야 한다. 별의 내부(균일 밀도)와 달리 점질량 모델에서는 중심 부근의 중력 잠재력 변화가 극심하므로, 이 휘어짐의 기하학적 한계로 인해 모든 지점을 연결하는 최단 시간 경로가 존재하지 않을 수 있음을 예측할 수 있다.
이를 구체적으로 보이기 위해서 별에서 $R$만큼 떨어진 지점에서 정지한 상태에서 출발하는 경우를 보자. 거리 $R$인 지점에서 정지 상태($v_0 = 0$)로 출발할 때, 역학적 에너지 보존 법칙에 의해 거리 $r$에서의 속력 $v$는 다음과 같다.
으로 주어진다. 별에서 같은 거리만큼 떨어져 있더라도 두 지점 사이의 각도가 $120^\circ$를 초과하는 경우 최속강하선은 존재할 수 없다. 이는 출발 시의 속력이 0이기 때문에 발생하는 물리적 제약으로, 중력을 이용한 가속의 이점보다 급격한 경로 굴절과 포텐셜 탈출에 드는 시간 손실이 더 커지기 때문에 나타나는 현상이다.
